Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

52 2.1 Diskrete Zufallsvariable Ich lerne diskrete Zufallsvariable kennen und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen. Wenn wir zwei Würfel werfen, dann ist der Ausgang ein Paar von ganzen Zahlen (i, j) mit 1 ª i ª 6 und 1 ª j ª 6. Oft ist man nur an der Summe der Augenzahlen der Würfel interessiert. Dann betrachtet man die Funktion, die jedem Wurfausgang die Summe der Augenzahlen zuord- net. Eine solche Funktion nennt man eine diskrete Zufallsvariable . Wir definieren allgemein: Ist die Grundmenge Ω eines Zufallsexperimentes endlich, so nennt man eine Funktion X: Ω ¥ R eine diskrete Zufallsvariable . Eine diskrete Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang des Zufalls- experimentes eine reelle Zahl zu. Mit M X bezeichnen wir die Menge M X = {X( ω ) ‡ ω * Ω }. M X ist also eine Menge von reellen Zahlen, die wir im Folgenden als Wertemenge der Zufalls- variablen X bezeichnen. Häufig werden Zufallsvariable auch als Zufallsgrößen bezeichnet. Achtung Beachte den Unterschied zwischen den Begriffen Ereignis und Zufallsvariable. Ein Ereignis kann bei der Durchführung eines Experimentes eintreten oder nicht eintreten. Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang eine bestimmte Zahl zu. Ein Ereignis ist eine Teilmen- ge der Grundmenge Ω , eine Zufallsvariable ist eine Funktion von Ω nach R . Zufallsvariable sind quantitative Merkmale. Ihre Wertemengen bestehen aus den möglichen Aus- prägungen, die diese Merkmale bei der Durchführung eines Zufallsexperimentes annehmen können. Man bezeichnet Zufallsvariable meist mit großen Buchstaben vom Ende des Alphabets (X, Y, Z …) und mit kleinen Buchstaben (x, y, z …) ihre Funktionswerte. Beispiele für diskrete Zufallsvariable:  Jedem Wurf zweier Würfel ordnet die Zufallsvariable X die Augensumme des Wurfergebnisses zu.  Jeder Lottoziehung ordnet die Zufallsvariable X die Anzahl der in meinem Tipp richtig errate- nen Zahlen zu.  Jeder Stichprobe vom Umfang 100 aus einer großen Lieferung ordnet die Zufallsvariable X die Anzahl der Ausschussstücke zu.  Jeder Familie mit 4 Kindern ordnet die Zufallsvariable X die Anzahl der Mädchen zu.  Jeder Person ordnet die Zufallsvariable X das Alter (in Jahren), die Zufallsvariable Y die Schuh- größe und die Zufallsvariable Z die Anzahl der Kinder zu. Ist eine Zufallsvariable auf einem bekannten Wahrscheinlichkeitsraum gegeben, so kann man die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, mit denen die einzelnen Funktionswerte der Zufallsvariablen angenommen werden: Ist M x = {x 1 , x 2 , . . . , x n }, schreiben wir p i = P(X = x i ) = P({ ω‡ X( ω ) = x i }) . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X ist die Funktion von M X nach [0; 1], die jedem Funktionswert von X die Wahrscheinlichkeit P(X = x i ) zuordnet, also M X ¥ [0; 1], x i ¦ P(X = x i ). diskrete Zufallsvariable Wertemenge Wahrscheinlich- keitsverteilung Wahrscheinlich- keitsfunktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv