Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

5 Ein Blick ins Buch Für Aufgaben, die mit dem Symbol gekennzeichnet sind, ist ein Technologieeinsatz empfehlenswert. Aufgaben mit dem Symbol eignen sich besonders gut für Partner- oder Gruppenarbeiten . Zahlreiche Aufgaben in den unterschiedlichsten Formaten bereiten auf die Zentralmatura vor. Am Ende jedes Abschnitts können in „ Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? “ die Kompetenzen mit Selbst- kontrollaufgaben überprüft werden. Die Lösungen zu diesen Aufgaben befinden sich im Buch auf den Seiten 373 – 379. Die Handlungskompetenzen der Bildungsstandards sind jeder Aufgabe vorangestellt. Die Standardmatrix ist auf der letzten Seite des Buches abgebildet. Am Ende jedes Kapitels gibt eine Zusammenfassung einen Überblick über die wichtigsten Aussagen des Kapitels. Mit zusammenfassenden Aufgaben können im Anschluss die Inhalte des gesamten Kapitels noch einmal losgelöst von den Theorieabschnitten gefestigt werden. 24 GrundlagenderStochastik 95 Erzeugemithilfe vonZufallszahlen 100AusgängeeinesMünzwurfes, indemduZahlenauf0 oder 1 rundest,und sodieAusgängeKopfundZahl simulierst.Berechnedanndieabsolutenund relativenHäufigkeiten fürKopfundZahl. 96 Werft insgesamt50-mal eineMünzeundnotiertdieAusgänge.Bestimmtdanndieabsoluten unddie relativenHäufigkeiten vonKopfundZahl.Vergleicht eureErgebnissemit jenender anderenGruppen. 97 Erzeugtmithilfe vonZufallszahlen 1000Ergebnisse vonWürfelwürfen.Überlegtdazu,wieaus einerZufallszahl zwischen 0und 1dieAusgänge einesWürfelwurfes simuliertwerden können. Berechnetdanndieabsolutenunddie relativenHäufigkeitendereinzelnenAugenzahlen.Ver- gleichteureErgebnissemit jenenderanderenGruppen. 98 Recherchiertgemeinsam,wiedieÖsterreicherinnenundÖsterreicheraufAltersgruppen verteilt sind.Bestimmt fürdieAltersgruppendieabsolutenund relativenHäufigkeitenund stelltdiese in einemgeeignetenDiagrammdar.Vergleicht eureErgebnissemit jenenderanderenGruppenund diskutiertüberdieVerteilungderAltersgruppen inÖsterreich.Unterscheidet sichdiese vonder VerteilungderAltersgruppen zumBeispiel indenUSAoder in Indien? Das empirischeGesetzder großen Zahlen VergrößernwirdieAnzahlnderVersuchsdurchführungen, sobeobachtenwir in jederVersuchs- serie ein systematischesVerhaltender relativenHäufigkeiten. Beispiel: EinWürfelwird 1000-malgeworfen.Wirberechnennach jedemWurfdie relative HäufigkeitderbishergewürfeltenSechserund stellendasErgebnis in einemDiagrammdar. Wir erkennen,dass sichdie relativenHäufigkeitendem „Grenzwert“ 1 _ 6 nähern. DiesesVerhalten lässt sichbeiwachsenderAnzahln vonVersuchsdurchführungen immer beobachten: Die Folge k h n ( Ĉ ) l der relativenHäufigkeiten von Ĉ zeigt ein „konvergenzartiges“Verhalten. Dasbedeutet,dassdieSchwankungender relativenHäufigkeitenmitwachsendemn immer geringerwerden.Von einerKonvergenz immathematischenSinn kannmandabeinicht sprechen,damandieVersuchsanzahlausZeitgründennichtbeliebiggroßmachen kann. 99 Würfle 100-malmiteinemWürfelund zähledieabsolutenHäufigkeitender einzelnenAugen- zahlen.Berechneanschließenddie relativenHäufigkeitenund stellediese ineinemSäulen- diagrammdar. InterpretieredasDiagrammundargumentiere,warumdie einzelnen relativen Häufigkeitennichtallzu stark voneinanderabweichen. 100 Wirf 100-maleineMünzeundnotierenach jeweils 10WürfendieAnzahldergeworfenenKöpfe. Berechnedanndie relativenHäufigkeitenderKöpfenach 10,20,30,…,100Würfen.Zeichne ein Diagrammunduntersuche,ob sichdieHäufigkeiten konvergenzartig verhalten. B B B Link 6v5t3f B ggb r4er7h Wiederholungen h(6) 0 0,1 0,2 0,3 500 400 600 700 800 900 1000 300 200 100 0 Empirisches Gesetzder großen Zahlen %&' %& mathk5_sb_07189_01.indd 24 28.05.2014 15:15:21 48 Zusammenfassung WirdeinVorgang in kSchrittendurchgeführtundgibt es n 1 Möglichkeiten fürdieDurchführungdes 1.Schrittes n 2 Möglichkeiten fürdieDurchführungdes2.Schrittes  n k Möglichkeiten fürdieDurchführungdes k-tenSchrittes, sogibtes insgesamt n 1 ·n 2 ·…·n k Möglichkeiten fürdieDurchführungdesgesamtenVorgangs. IstneinepositiveganzeZahl,dann sagenwir n-Fakultät und schreiben kurz n! fürdasProdukt n!=n·(n– 1)·…·2·1 unddefinieren 0!= 1 . Untereiner Permutation verstehtmaneinemöglicheAnordnungderElementeeiner endlichen Menge.DieAnzahlderPermutationen vonnunterschiedlichenElementen istn! DienElementeeinerMengebildengTeilmengenmitn 1 ,… ,n g jeweilsnichtunterscheidbaren Elementen (n 1 +n 2 +…+n g =n).Danngibtes n! __ n 1 !·…·n g ! unterscheidbareAnordnungendieserElemente. DerBinomialkoeffizient 2 n k 3 = n! __ k!·(n–k)! (n,k *N ,0ª kªn)gibtdieAnzahlderMöglichkeiten,kElementeausnElementenauszuwählen,an. Ein endlicherWahrscheinlichkeitsraum bestehtaus einer endlichenMenge í und einer Funktion P: í~ [0; 1] mitderEigenschaft ; Ĉ í P( Ĉ )= 1 . DieMenge í nennenwir Grundmenge oder Ausgangsmenge unddie FunktionP Wahrscheinlich- keitsfunktion .P( Ĉ )nennenwirdie Wahrscheinlichkeit von Ĉ . Bei einemZufallsexperiment ist ein Ereignis E eineTeilmengederGrundmenge í . SeineWahrscheinlichkeit istdefiniertdurch P(E)= ; Č E P( Č ). InWorten:DieWahrscheinlichkeit vonE istdieSummederWahrscheinlichkeitenderElemente vonE. Es ist 0ªP(E)ª1 P({ })=0 P( ñ ) =1. FallsEund F keinegemeinsamenElementehaben,alsoE ° F= { } ist,giltdie Additionsregel für einanderausschließendeEreignisse P(E ± F )=P(E)+P(F). Produkt- regelder Kombinatorik n-Fakultät Permutation Anzahlan Permutationen mit Wiederholung Binomial- koeffizient endlicher Wahrscheinlich- keitsraum Ereignis Additionsregel mathk5_sb_07189_01.indd 48 28.05.2014 15:15:32 63 2.2 ErwartungswertundVarianzdiskreter Zufallsvariablen 252 SetztmanbeimRouletteauf eineder37Zahlen, soerhältman,wenndieKugel tatsächlichauf dieseZahl fällt,das36-Fache seinesEinsatzes zurück.BerechneErwartungswert,Varianzund StandardabweichungdesGewinns,wennman a. 10€, b. 100€auf eineZahl setzt. 253 SetztmanbeimRouletteaufdas „obereDutzend“ (das sinddieZahlen von 1bis 12), so erhält man,wenndieKugelauf einedieserZahlen fällt,das3-Fache seinesEinsatzes zurück.Berechne Erwartungswert,VarianzundStandardabweichungdesGewinns,wennman a. 10€, b. 100€ aufdasobereDutzend setzt. 254 VergleichedieErgebnissederAufgaben251–253.Was fälltdirbezüglichdesErwartungswertes, derVarianzundderStandardabweichungauf?Beiwelchemderdrei vorgestelltenSetzverhalten imRoulette istdieStandardabweichungamgrößten,beiwelcher ist sieam kleinsten?Dokumen- tieredeineÜberlegungen. 255 +DQVKDWYRQGHUVRJHQDQQWHQ9HUGRSSHOXQJVVWUDWHJLHJHKØUWXQGSODQWGLHVHLP&DVLQRLQGLH 7DWXP]XVHW]HQ (UEHWULWWPLW bGDV&DVLQR 6HLQ3ODQLVWGHUIROJHQGH (UVHW]W]XQÆFKVW 10€auf „Rot“.WenndieKugelauf „Rot“ fällt,erhält erdasDoppelte zurückund verlässtmit ins- JHVDPW b*HZLQQGDV&DVLQR )ÆOOWGLH.XJHOQLFKWDXIf5RWu VRYHUGRSSHOWHULQGHUQÆFKVWHQ Runde seinenEinsatz.DieseVerdoppelungsstrategiehält er so langedurch,bisdieKugeldas ersteMalaufRot fällt,dannnimmt er seinenGewinnundgeht. a. Rechnenach,warumdieKugelbeiHans’Startkapitalnichtöftersals7-malnichtaufRot fal- lendarf.Wiegroß istdieWahrscheinlichkeit,dassdieKugel soofthintereinandernichtauf Rot fällt?Berechne. b. Angenommen inder fünftenRunde fälltdieKugel erstmalsaufRot.Berechne,welchen %HWUDJ+DQVLQGLHVHP)DOOYRP&URXSLHUDXVEH]DKOWEHNRPPWXQGZLHJURÁVHLQWDWVÆFKOL- cherGewinn ist,wenn eralle seinebishergeleistetenEinsätzeabzieht. c. BerechnedenErwartungswertunddieStandardabweichung fürHans’Gewinn. d. 8QWHUVXFKH REGXGLH9HUGRSSHOXQJVVWUDWHJLHIÞUHLQHVLFKHUH0HWKRGHKÆOWVW LP&DVLQR]X Geld zu kommen. 256 Bei einer Jahrmarktslotterie kannmanauf einederZahlen 1,2,… ,6 setzen.FallsbeimWurf dreierWürfeldiegewählteZahl k-mal erscheint (k = 1,2,3)darfman seinenEinsatzbehalten underhält zusätzlichdas k-FachedesEinsatzes.ErscheintdiegewählteZahlnicht, so istderEin- satz verloren.BerechneErwartungswertundVarianzdesGewinns. Washabe ich in diesemAbschnitt gelernt? IchkanndenErwartungswert einerdiskreten Zufallsvariablenberechnenund interpretieren. 257 Manuelund Lukas spieleneinGlückspiel. Jeder leistet 1€Einsatz,dannwerden2Würfelgewor- fen.EnthältdasResultatmindestens einen FünferoderSechser, sogewinntManueldiegesam- tenEinsätze,anderen Falls Lukas.BerechnedenErwartungswert fürManuelsGewinnund inter- pretieredasErgebnis. IchkanndieVarianzundStandardabweichungeinerdiskreten Zufallsvariablenberechnenund interpretieren. 258 DieZufallsvariableXgibt füreineGemeindedieAnzahlderPersonenan,die ineinemgemein- samenHaushalt leben.Xhat folgendeVerteilung:P(X= 1)=0,12,P(X =2) = 0,39, P(X =3) = 0,31,P(X = 4)=0,16,P(X =5) = 0,018,P(X =6) = 0,002,P(X>6)=0. a. BerechneE(X),V(X)und 9 ___ V(X). b. InterpretieredieErgebnisse von a .WelcheBedeutunghabendiese3Zahlen? A,B A,B & $%& A,B $%& $%& HTL_4_Buchdatei.indb 63 30.07.2014 16:33:31 Handlungsdimension Inhaltsdimension Die charakteristischen mathematischen Tätigkeiten sind A Modellierenund Transferieren B Operierenund Technologieeinsatz C Interpretierenund Dokumentieren D Argumentierenund Kommunizieren 1 ZahlenundMaße … für eine Problemstellungmit ZahlenundMaßen eingeeignetes Modell findenund einenTransfer in andereBereiche durchführen. …mitZahlenund Maßenoperieren und situations- gerecht technische Hilfsmitteleinset- zen. …ZahlenundMaße in ihremKontext interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. …mithilfe von ZahlenundMaßen argumentierenund kommunizieren. 2 Algebraund Geometrie … füreineProblem- stellungmithilfe derAlgebraund Geometrie eingeeig- netesModell finden undeinenTransfer inandereBereiche durchführen. …mitalgebrai- schenundgeomet- rischenObjekten operierenund situationsgerecht technischeHilfsmit- teleinsetzen. …algebraischeund geometrischeObjek- te in ihremKontext interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. … inder Fach- sprachederAlgebra undGeometrie argumentierenund kommunizieren. 3 Funktionale Zusammenhänge … eingeeignetes Modell für einen funktionalenZusam- menhang finden und einenTransfer inandereBereiche durchführen. …mit funktionalen Zusammenhängen operierenund situationsgerecht technischeHilfsmit- tel einsetzen. … funktionale Zusammenhänge interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. … funktionale Zusammenhänge argumentierenund kommunizieren. 4 Analysis … für eineProblem- stellungmithilfeder Analysis eingeeig- netesModell finden undeinenTransfer inandereBereiche durchführen. …Operationen in derAnalysis durchführenund situationsgerecht technischeHilfsmit- tel einsetzen. …Zusammenhänge inderAnalysis interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. … inder Fach- sprachederAnalysis argumentierenund kommunizieren. 5 Stochastik … für eineProblem- stellungmithilfeder Stochastik ein geeignetesModell findenundeinen Transfer inandere Bereichedurch- führen. …Operationen in derStochastik durchführenu d situationsgerecht technischeHilfsmit- tel einsetzen. …Zusammenhänge inderStochastik interpretierenund meineÜberlegun- gendokumentieren. … inder Fach- sprachederSto- chastikargumenie- renund kommuni- zieren. * „DieStandardmatrix“derBildungsstandards fürberufsbildendehöhereSchulendesösterreichischen Bundesministeriums fürUnterricht,KunstundKultur Die Standardmatrix* Mathe_BHS_Musterlayout_09-2011_End.indd 77 10.10.2011 11:35:58 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv