Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

48 Zusammenfassung Wird ein Vorgang in k Schritten durchgeführt und gibt es n 1 Möglichkeiten für die Durchführung des 1. Schrittes, n 2 Möglichkeiten für die Durchführung des 2. Schrittes, n k Möglichkeiten für die Durchführung des k-ten Schrittes, so gibt es insgesamt n 1 ·n 2 ·…·n k Möglichkeiten für die Durchführung des gesamten Vorgangs. Ist n eine positive ganze Zahl, dann sagen wir n-Fakultät und schreiben kurz n! für das Produkt n! = n·(n – 1)·…·2·1 und definieren 0! = 1 . Unter einer Permutation versteht man eine mögliche Anordnung der Elemente einer endlichen Menge. Die Anzahl der Permutationen von n unterschiedlichen Elementen ist n!. Die n Elemente einer Menge bilden g Teilmengen mit n 1 , n 2 , … , n g jeweils nicht unterscheidba- ren Elementen (n 1 + n 2 + … + n g = n). Dann gibt es n! __ n 1 !·n 2 !·…·n g ! unterscheidbare Anordnungen dieser Elemente. Der Binomialkoeffizient 2 n k 3 = n! __ k!·(n – k)! (n, k * N , 0 ª k ª n) gibt die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen auszuwählen, an. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einer endlichen Menge Ω und einer Funktion P: Ω ¥ [0; 1] mit der Eigenschaft ; ω * Ω P( ω ) = 1 . Die Menge Ω nennen wir Grundmenge oder Ausgangsmenge und die Funktion P Wahrscheinlich- keitsfunktion . P( ω ) nennen wir die Wahrscheinlichkeit von ω . Bei einem Zufallsexperiment ist ein Ereignis E eine Teilmenge der Grundmenge Ω . Seine Wahrscheinlichkeit ist definiert durch P(E) = ; ω * E P( ω ). In Worten: Die Wahrscheinlichkeit von E ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elemente von E. Es ist 0 ª P(E) ª 1 P({ }) = 0 P( Ω ) = 1. Falls E und F keine gemeinsamen Elemente haben, also E ° F = { } ist, gilt die Additionsregel für einander ausschließende Ereignisse P( E ± F ) = P(E) + P(F). Produkt- regel der Kombinatorik n-Fakultät Permutation Anzahl an Permutationen mit Wiederholung Binomial- koeffizient endlicher Wahrscheinlich- keitsraum Ereignis Additionsregel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv