Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

46 Grundlagen der Stochastik 186 Eine Analyse hat ergeben, dass DNA-Spuren am Tatort mit dem DNA-Profil von Herrn A. überein- stimmen. Herr A. gibt an, am Tag des Mordes nicht in der Nähe des Tatorts gewesen zu sein und hat sogar Zeugen für ein Alibi. Es konnte weder die Tatwaffe gefunden werden, noch gibt es ein erkennbares Motiv für die Tat. Der Anwalt von Herrn A ist überzeugt, dass die Übereinstimmung des DNA-Profils rein zufällig ist. Er stützt sich dabei auf folgende aus der Literatur bekannte Zahlen:  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person zufällig ein mit der Probe identisches DNA-Profil besitzt, beträgt 1 : 1 000000.  Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test eine Übereinstimmung zeigt, obwohl die beiden DNA- Profile nicht übereinstimmen, beträgt 1 : 100000. a. Erstelle für die Verteidigungsrede des Anwalts ein Baumdiagramm, das zeigt, wie viele der rund 1 000000 Einwohner aus der Umgebung des Tatorts durch diesen DNA-Test als „Täter“ identifiziert würden. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einer Person, die durch den DNA-Test als „Täter“ identifiziert wurde, tatsächlich um den gesuchten Täter handelt. c. Ist damit bewiesen, dass Herr A tatsächlich nicht der gesuchte Täter ist? Begründe. 187 Eine Firma produziert Bauteile, die in Triebwerken für Passagierflugzeuge eingesetzt werden. Produktionsbedingt weiß man, dass 1,5% aller erzeugten Bauteile Ausschuss sind. Um die hohen Sicherheitsanforderungen im Triebwerksbau zu erfüllen, durchläuft jeder produzierte Bauteil zwei unabhängige Tests. Der erste Test ist ein Schnelltest und erkennt 95% aller schadhaften Bauteile, während er allerdings auch 1% aller Bauteile, die einwandfrei sind, als Ausschuss ein- stuft. Alle Bauteile, die den ersten Test als „fehlerfrei“ überstehen, werden noch einem zweiten Test unterzogen. Dieser erkennt 99,9% aller schadhaften Bauteile, während er 4% aller nicht schadhaften Bauteile als Ausschuss einstuft. a. Veranschauliche die Testserie mithilfe eines Baumdiagramms. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, das im ersten Test als Ausschuss einge- stuft wurde, tatsächlich schadhaft ist. c. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, das beide Tests als einwandfrei absolviert hat, in Wirklichkeit schadhaft ist. d. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil, das im zweiten Test als Ausschuss einge- stuft wurde, in Wirklichkeit einwandfrei ist. e. Berechne, wie viel Prozent der Bauteile letztendlich als Ausschuss eingestuft werden. 188 Aus den Wiener Familien mit zwei Kindern wird eine zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Kinder Mädchen, wenn man erfährt, dass … a. … mindestens ein Kind ein Mädchen ist. b. … das jüngere Kind ein Mädchen ist. 189 Eine Prüfung besteht aus drei Teilen und wird positiv beurteilt, wenn mindestens zwei Teile bestanden werden. Ein Kandidat besteht den ersten Teil mit Wahrscheinlichkeit 0,8 und jeden weiteren mit Wahrscheinlichkeit 0,8 oder 0,6, je nachdem er den vorherigen bestanden hat oder nicht. Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit er eine positive Beurteilung erzielt. 190 Ein Gen hat eine normale dominante Ausprägung A und eine abartige rezessive Ausprägung a. Eine Person mit Genotyp aa kann das Kindesalter nicht überleben. Der Genotyp Aa ist Krank- heitsträger und hat in der erwachsenen Bevölkerung den Anteil p = 0,02, ist aber äußerlich nicht vom Normaltyp AA zu unterscheiden. Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Kind eines Paares aus dieser Bevölkerung an die- ser Krankheit sterben bzw. ein Krankheitsträger sein wird. A, B, D A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv