Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

45 1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Baumdiagramme 182 Eine Pharmafirma produziert einen Schnelltest, mit dessen Hilfe man Tachinitose bereits im Frühstadium erkennen kann. Über die Krankheit ist folgendes bekannt:  0,2% der Bevölkerung leiden an Tachinitose.  Hat eine Testperson Tachinitose, so fällt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7% positiv aus.  Bei Testpersonen ohne Tachinitose ist der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9% negativ. Das Gesundheitsministerium plant, in einer großangelegten Reihenuntersuchung 1 Million Personen diesem Test zu unterziehen. a. Dokumentiere mithilfe eines Baumdiagramms, bei wie vielen der getesteten Personen mit Tachinitose und bei wie vielen der getesteten Personen ohne Tachinitose der Test voraus- sichtlich positiv und bei wie vielen er negativ ausfallen wird. b. Frau Vorsicht nimmt an dieser Reihenuntersuchung teil. Ihr Test fällt positiv aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Vorsicht tatsächlich Tachinitose hat. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit negativem Test tatsächlich keine Tachinitose hat. 183 Da bekannt ist, dass bei 0,1% aller Testpersonen ohne Tachinitose durch einen unglücklichen Zufall der Schnelltest (siehe Aufgabe 182) trotzdem positiv ausfällt, ist vorgesehen, dass bei einem positiven Testergebnis der Test wiederholt werden muss. Nur im Falle, dass auch der zweite Test positiv ausfällt, geht man davon aus, dass die Testperson tatsächlich Tachinitose hat. (Bei einem negativen ersten Test wird der Test nicht wiederholt.) a. Dokumentiere mithilfe eines Baumdiagramms, bei wie vielen der im ersten Test positiv getesteten Personen auch der zweite Test voraussichtlich positiv und bei wie vielen er vor- aussichtlich negativ ausfallen wird. b. Bei Frau Vorsicht ist auch der zweite Test positiv ausgefallen. Berechne die Wahrscheinlich- keit, dass Frau Vorsicht dennoch keine Tachinitose hat. c. Bei Herrn Unsicher war ebenfalls der erste Test positiv, der zweite Test hingegen ist negativ ausgefallen. Herr Unsicher ist daher der Meinung, dass die Wahrscheinlichkeit, Tachinitose zu haben, für ihn bei 50% liegen müsste. Argumentiere mithilfe einer geeigneten Rechnung, warum Herr Unsicher mit seiner Einschätzung völlig falsch liegt. 184 Ein Labortest entdeckt zu 95% eine bestimmte Erkrankung, wenn sie tatsächlich vorliegt. Der Test zeigt aber auch bei 1% der nicht erkrankten Personen ein „falsch positives“ Ergebnis. Man vermutet, dass 0,5% der Bevölkerung diese Krankheit haben. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person positiv getestet wird. b. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person wirklich krank ist. 185 Alle Schülerinnen und Schüler des Maturajahrgangs mussten sich zu Jahresbeginn einem Englisch- und einem Mathematiktest unterziehen. 80% der Schülerinnen und Schüler haben den Englischtest bestanden. Von diesen haben 90% den anschließenden Mathematiktest ebenfalls bestanden. Von den Schülerinnen und Schülern, die den Englischtest nicht bestanden haben, haben 60% den Mathematiktest ebenfalls nicht bestanden. a. Bei welchem der beiden Tests haben die Schülerinnen und Schüler insgesamt besser abge- schnitten? Berechne. b. Berechne, wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler mindestens einen der beiden Tests bestanden haben. c. Berechne wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler, die den Mathematiktest bestanden haben, auch den Englischtest bestanden haben. d. Von allen Schülerinnen und Schülern, die den Mathematiktest nicht bestanden haben, wird zufällig eine/r ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schülerin / dieser Schüler auch den Englischtest nicht bestanden hat? Berechne. A, B, C, D A, B, C, D A, B A, B Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv