Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

44 Grundlagen der Stochastik 178 Ein Autohersteller bezieht seine Motoren von zwei Zulieferfirmen. Firma A liefert dabei 70% der erforderlichen Motoren, Firma B 35%. Es ist bekannt, dass 3% aller Motoren von A nicht ein- wandfrei funktionieren und 2% der Motoren von B. Diese Motoren gelten als „Ausschuss“. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Motor Ausschuss ist. b. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Ausschuss-Motor von der Zulieferfirma B stammt. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter einwandfreier Motor von der Zulieferfirma A stammt. 179 Auf einem Tisch stehen 3 Kästchen mit je 2 Laden. Im ersten Kästchen befindet sich in jeder Lade eine Goldmünze, im zweiten in jeder Lade eine Silbermünze und im dritten in einer Lade eine Gold- und in der anderen eine Silbermünze. Matthias wählt zufällig ein Kästchen, öffnet zufällig eine der beiden Laden und findet darin eine Goldmünze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt in der anderen Lade dieses Kästchens ebenfalls eine Goldmünze? Berechne. 180 Seht euch noch einmal Aufgabe 179 an. Auf den ersten Blick könnte man vermuten, die Wahr- scheinlichkeit, in der anderen Lade ebenfalls eine Goldmünze zu finden, wäre 1 _ 2 . Denn wenn sich in der ersten Lade eine Goldmünze befindet, dann hat man entweder das erste oder das dritte Kästchen gewählt. Falls es das erste Kästchen ist, so ist in der zweiten Lade eine Goldmünze, falls es das dritte Kästchen ist, dann nicht. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, in der zweiten Lade eine Goldmünze zu finden aber 2 _ 3 . Diskutiert diese unterschiedlichen Ergebnisse. Wer hat recht? Wo steckt der Denkfehler? 181 Um Blutkonserven auf HIV-Viren zu kontrollieren, wurde der sogenannte ELISA-Test entwickelt. Die Sensitivität des ELISA-Tests wird mit 99,9% angegeben. Das bedeutet, dass von 1 000 HIV- positiven Personen 999 als solche erkannt werden und eine ein falsches negatives Ergebnis erhält. Die Spezifität beträgt 99,8%. Dies bedeutet, dass von 1 000 nicht HIV-Positiven 998 ein korrektes negatives Ergebnis erhalten und 2 ein falsches positives Ergebnis. Der Statistik-Austria zufolge sind in Österreich zurzeit ungefähr 0,2% der Gesamtbevölkerung HIV-infiziert. Das Gesundheitsministerium plant, in einer großangelegten Reihenuntersuchung 1 Million zufällig ausgesuchte Personen gratis diesem Test zu unterziehen. a. Dokumentiere mithilfe eines Baumdiagramms, bei wie vielen der getesteten Personen mit HIV-Infektion und bei wie vielen der getesteten Personen ohne HIV-Infektion der Test voraus- sichtlich positiv und bei wie vielen er negativ ausfallen wird. b. Frau Vorsicht nimmt an dieser Reihenuntersuchung teil. Ihr Test fällt positiv aus. Berechne mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Vorsicht tatsächlich HIV-infi- ziert ist. a. Der Anteil der HIV-Infizierten unter den 1 Million Testpersonen sollte 0,2%, also 2000 sein. Daraus ergibt sich das folgende Baumdiagramm. b. Mithilfe der absoluten Häufigkeiten erkennen wir, dass von insgesamt 1 998 + 1 996 = 3994 positiv getesteten Personen nur 1 998 tatsächlich HIV-positiv sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Vorsicht an HIV erkrankt ist, ist also 1998 _ 3994 ≈ 0,5. Wir hätten die Wahrscheinlichkeit für eine Erkrankung von Frau Vorsicht auch ohne die Kennt- nis der absoluten Zahlen berechnen können: P(krank 1 Test positiv) = P(krank ° Test positiv) ___ P(Test positiv) = 0,002·0,999 ____ 0,002·0,999 + 0,998·0,002 ≈ 0,5. A, B A, B D ein Baum- diagramm erstellen und damit Wahr- scheinlichkeiten berechnen A, B, C 0,2% 99,8% 99,9% 0,1% 0,2% 99,8% Gesamtzahl 1000000 HIV 2000 Test positiv 1998 Test negativ 2 Test positiv 1996 Test negativ 996004 kein HIV 998000 Nur zu Prüfzweck n – Eigentu des V rlags öbv