Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

41 1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Baumdiagramme Auch für die dritte Ziehung gibt es wieder je zwei Möglichkeiten, die wiederum durch eine Verzweigung dargestellt werden. Um die Wahrscheinlichkeit der Buchstabenfolge AUA zu bestimmen, folgen wir dem rot einge- zeichneten Pfad . Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal ein A zu ziehen, beträgt 6 _ 10 . Die Wahr- scheinlichkeit, beim zweiten Mal ein U zu ziehen unter der Bedingung, dass zuvor ein A gezogen wurde, beträgt 4 _ 9 . Die Wahrscheinlichkeit, dass beim dritten Mal ein A gezogen wird, wenn zuvor ein A und ein U gezogen wurden, beträgt 5 _ 8 . Die Wahrscheinlichkeit für die Folge AUA ist daher 6 _ 10 · 4 _ 9 · 5 _ 8 = 1 _ 6 . Ein mehrstufiges Zufallsexperiment lässt sich mithilfe eines Baumdiagramms veranschaulichen. Dabei entspricht jeder Ausgang einem Pfad entlang der Äste dieses Baumdiagramms. Die Äste des Baumes entsprechen den möglichen Verläufen der Teilexperimente. Über jedem Ast ist die Wahrscheinlichkeit dieses Verlaufs bedingt durch die jeweilige Ausgangssituation aufge- tragen. Die Knoten stellen die jeweils erreichte Situation dar. Die Multiplikationsregel besagt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Weges durch Multiplikati- on der Wahrscheinlichkeiten über den Ästen dieses Weges erhält. Diese Beziehung gilt auch für drei- und mehrstufige Experimente, da sich die Multiplikationsre- gel folgendermaßen verallgemeinern lässt: P(A ° B ° C) = P(A)·P(B 1 A)·P(C 1 A ° B) P(A ° B ° C ° D) = P(A)·P(B 1 A)·P(C 1 A ° B)·P(D 1 A ° B ° C) usw. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ausgangs erhält man, indem man die Wahrscheinlichkei- ten über den Ästen des Pfades, der zu diesem Ausgang führt, miteinander multipliziert. Erreicht man ein Ereignis E des mehrstufigen Zufallsexperimentes auf verschiedenen Pfaden, so erhält man die Wahrscheinlichkeit von E durch Addition der zugehörigen Pfadwahrscheinlich- keiten. 163 Bei einer Prüfung erhält ein Kandidat hintereinander drei Fragen. Er kann jede Frage mit Wahr- scheinlichkeit 0,8 richtig beantworten. Weiß er aber eine Antwort nicht, so ist die Wahrscheinlich- keit, dass die nächste Frage richtig beantwortet wird, nur 0,6. Das Gesamtergebnis der Prüfung ist positiv, wenn mindestens zwei Fragen richtig beantwortet wurden. Berechne die Wahrschein- lichkeit, dass das Gesamtergebnis positiv ist. Wir erstellen zuerst das Baumdiagramm: R … Frage wird richtig beantwortet F … Frage wird falsch beantwortet Das Ereignis „mindestens zwei Fra- gen richtig beantwortet“, können wir darstellen als E = {RRR, RRF, RFR, FRR}. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausgänge erhalten wir mit der Multiplikationspfadregel: P(RRR) = 0,8·0,8·0,8 = 0,512 P(RFR) = 0,8·0,2·0,6 = 0,096 P(RRF) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128 P(FRR) = 0,2·0,6·0,8 = 0,096 Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E erhalten wir jetzt mit der Additionspfadregel: P(E) = 0,512 + 0,128 + 0,096 + 0,096 = 0,832 Die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwei Fragen richtig zu beantworten, beträgt 0,832. Baumdiagramm Multiplikations- pfadregel Additions- pfadregel Wahrschein- lichkeit mithilfe der Additions- und Multiplikations- pfadregel berechnen A, B 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,4 0,6 0,6 0,4 0,8 0,2 0,4 0,6 R F R R R F R F F F R F R F Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv