Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

40 Grundlagen der Stochastik Multiplikationsregel und Baumdiagramme Geht man von der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B 1 A) = P(A ° B) __ P(A) aus und multipliziert mit P(A), so erhält man die Multiplikationsregel . P(A ° B) = P(A)·P(B 1 A) Damit können wir die Wahrscheinlichkeit des Durchschnittes zweier abhängiger Ereignisse berechnen. Besonders vorteilhaft lässt sie sich anwenden, wenn das Experiment in zwei aufein- anderfolgenden Stufen abläuft und sich A auf die erste und B auf die zweite Stufe bezieht. 162 In einem Korb befinden sich 10 Äpfel, von denen 3 beschädigt sind. Es werden 2 Äpfel (ohne Zurücklegen) herausgezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Äpfel in Ordnung sind. Man könnte das Problem rein kombinatorisch lösen. Der anschaulichere Weg führt aber schritt- weise über die Multiplikationsregel. Dazu definieren wir zunächst die Ereignisse: G 1 : 1. gezogener Apfel ist gut G 2 : 2. gezogener Apfel ist gut G 1 ° G 2 ist das gesuchte Ereignis. Es ist P(G 1 ) = 7 _ 10 und P(G 2 1 G 1 ) = 6 _ 9 . Somit ist P(G 1 ° G 2 ) = P(G 1 )·P(G 2 1 G 1 ) = 7 _ 10 · 6 _ 9 = 42 _ 90 = 0,466. Eine gut geeignete graphische Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten sind Baumdiagramme . Um den Fluggästen die Wartezeit zu verkürzen, veranstaltet eine Fluglinie ein Gewinnspiel, bei dem in einer Urne 6 Kugeln mit der Aufschrift „A“ und 4 Kugeln mit der Aufschrift „U“ liegen. Eine Kandidatin bzw. ein Kandidat muss nun dreimal hintereinander ohne Zurücklegen eine Kugel zie- hen. Zieht die Kandidatin bzw. der Kandidat „AUA“ in der richtigen Reihenfolge, hat sie bzw. er gewonnen. Armin nimmt an diesem Gewinnspiel teil und möchte zuvor seine Gewinnwahr- scheinlichkeit ermitteln. Er stellt die möglichen Ausgänge dieses Spiels in einem Baumdiagramm dar: Um das Baumdiagramm zu lesen, beginnen wir oben. Hier verzweigt sich der Baum erstmals. Ein Ast führt nach links zu einem Knoten der Bezeichnung A. Über dem Ast ist die Wahrschein- lichkeit, dass bei der ersten Ziehung der Buchstabe A gezogen wird, mit 6 _ 10 angegeben. Analog führt auch ein Ast von oben nach rechts und zeigt an, dass bei der ersten Ziehung mit der Wahrscheinlichkeit 4 _ 10 der Buchstabe U gezogen wird. Nachdem bei der ersten Ziehung entweder ein A oder ein U gezogen wurde, zieht man ein zwei- tes Mal. Im Baumdiagramm führen daher vom ersten A und vom ersten U jeweils wieder zwei Äste weg, die die Möglichkeiten der zweiten Ziehung angeben. Dabei ist zu beachten, dass sich die Anzahl der möglichen Buchstaben jetzt um eins verringert hat, denn es fehlt ja jetzt der zuvor gezogene Buchstabe in der Urne. Auch die Anzahl der günstigen Buchstaben hat sich – abhängig von der vorangegangen Ziehung – eventuell geändert. Multiplikations- regel ggb/mcd 9en335 Wahrschein- lichkeit mit der Multipli- kationsregel berechnen A, B 6 10 5 9 4 8 4 8 5 8 3 8 5 8 3 8 6 8 2 8 4 9 6 9 3 9 4 10 A U A A A U A U U U A U A U Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv