Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

4 Ein Blick ins Buch Jedes Kapitel beginnt mit einer Auftaktseite , die einen Überblick über die Abschnitte des Kapitels gibt. Am Beginn jedes Abschnitts werden die Kompetenzen vorgestellt, die in diesem Abschnitt erworben werden. In den Abschnitten wechseln Theorie und Aufgaben ab, sodass die neuen Inhalte gleich angewandt, verstanden und geübt werden können. Verwendete Abkürzungen: DGS … dynamische Geometriesoftware CAS … Computeralgebrasystem GTR … graphikfähiger Taschenrechner Eine besondere Hilfe sind die Kennzeichnungen „ Tipp “ und „ Achtung “, die darauf aufmerksam machen, welche Strategien beim Lösen mathematischer Fragestellungen angewendet werden können und wo man besonders aufpassen sollte. Wichtige mathematische Inhalte (Definitionen, Sätze…) sind in gelben Kästen hervorgehoben. In blauen Kästen finden sich Musteraufgaben , die zeigen, wie Aufgaben gelöst werden können. 7 1.1 Was istStochastik? 1.2 KombinatorischeGrundlagen 1.3 EndlicheWahrscheinlichkeitsräume 1.4 BedingteWahrscheinlichkeitenundBaumdiagramme Zusammenfassungund zusammenfassendeAufgaben 1 Grundlagen der Stochastik mathk5_sb_07189_01.indd 7 28.05.2014 15:15:11 27 1.3 EndlicheWahrscheinlichkeitsräume Beispiele: DieRoulettekugel fälltaufeine schwarzeZahl. DerWurf von zweiWürfelnergibt zweigleicheAugenzahlen. Icherhaltebeim Lottomindestens einen Fünfer. Bei einemZufallsexperiment istein Ereignis E eineTeilmengederGrundmenge í . Achtung Für Ĉ*í machenwir keinenUnterschied zwischendemElement Ĉ undderTeilmenge { Ĉ } von í .Beachte,dassdaher jederAusgangeinesZufallsexperimentesgleichzeitigauch ein Ereignis ist.Umgekehrt istabernicht jedesEreignisauch einAusgang! EinEreignisE kannentwederdurch eineBeschreibungderEigenschaftenderVersuchsausgänge (E:geradeAugenzahlbeimWürfeln)oderdurchAngabeallerAusgänge,die zumEreignis gehören (E= {2,4,6}),angegebenwerden. Wirdefinierendie WahrscheinlichkeiteinesEreignisses E aí durch P(E)= ; Č E P( Č ). InWorten:DieWahrscheinlichkeit vonE istdieSummederWahrscheinlichkeitenderElemente vonE. Wirbetrachten imWeiterendie Wahrscheinlichkeitsfunktion Pauchals Funktion,die jederTeil- menge von í (also jedemEreignis) eineZahl im Intervall [0; 1] zuordnet. Diese Funktionhatdie folgendenEigenschaften: 0 ªP(E)ª 1, P({ })=0, P( ñ )= 1 Tipp ManchmalwerdenWahrscheinlichkeitenauch inProzentoder inder Form 1 : 1 _ p angegeben.So sprichtmanbeispielsweise statt vonder „Wahrscheinlichkeit0,02“auch vonder „Wahrscheinlichkeit2%“oderder „Wahrscheinlichkeit 1 :50“. 108 SchreibedieWahrscheinlichkeitenauch indenbeidenanderen Formenan,nachdemMuster 0,1= 10%= 1 : 10. a. 0,05 b. 4% c. 1 : 40 d. 0,0004 e. 0,5% f. 1 :800 109 ZweiSpielwürfelwerdengleichzeitiggeworfen.Gibdiedem folgendenEreignisE entsprechende TeilmengederGrundmengeunddieWahrscheinlichkeitdesEreignissesan. a. E: „Augensumme5“ b. E: „Doppelsechs“ c. E: „zweigeradeZahlen“ DieGrundmenge istdieMengealler36PaarederZahlen 1,2,3,4,5,6.Wirnehmenan,dass jeder Ausganggleichwahrscheinlich ist,dann istdieWahrscheinlichkeit jedesZahlenpaares 1 _ 36 . a. E= {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; P(E)= 4 _ 36 = 1 _ 9 b. E= {(6,6)}; P(E) = 1 _ 36 c. E= {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}; P(E) = 9 _ 36 = 1 _ 4 110 Eswirdmit zweiWürfelngleichzeitiggewürfelt.DieWahrscheinlichkeit jedesPaares vonAugen- zahlen ist 1 _ 36 .BeschreibedasangeführtenEreignisdurchdie entsprechendeTeilmengeder Grundmengeundberechne seineWahrscheinlichkeit. a. DieAugensummebeträgt6. b. DasProduktderbeidenAugenzahlenbeträgt6. Ereignis Wahrschein- lichkeit eines Ereignisses Eigenschaften vonWahr- scheinlichkeits- funktionen B alleAusgänge in einem Ereignis bestimmen & A mathk5_sb_07189_01.indd 27 28.05.2014 15:15:23 21 1.3 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume Ich lerneBeispiele für ZufallsexperimenteundEreignisseanzugeben. Ich lernedieWahrscheinlichkeit vonEreignissemithilfederklassischenDefinition für Wahrscheinlichkeitennach Laplace zubestimmen. Ich lernemithilfederKombinatorikdieAnzahlder für einEreignisgünstigenAusgänge eines Zufallsexperimentes zubestimmenunddamitWahrscheinlichkeiten zuberechnen. Zufallsexperimente Wirwollennun zufallsbestimmteSituationendes täglichen Lebens erfassbarundberechenbar machen, indemwirdafür einmathematischesModell erstellen. Das ist sichernicht inallen Fällenmöglich.Wir treffendafürdieAnnahme,dass sichdieSituation in Formeines Zufallsexperimentes darstellen lässt. Ein Zufallsexperiment ist einVorgang,derunterexakt festgelegtenBedingungenabläuft,unter diesenBedingungenbeliebigoftwiederholbar istunddessen Ausgang nichteindeutig vorher- sehbar ist. Beispiele: dasWerfen einesWürfels dasZieheneines Loses dasWerfen einerMünze Der ersteSchritt zurModellbildung für einZufallsexperimentbestehtdarin,allemöglichen AusgängedesZufallsexperimentes zueinerMenge í (sprich „Omega“) zusammenzufassen. DieseMengenennenwirdie Grundmenge oder Ausgangsmenge. Wir setzen zunächst voraus, dass sieaus endlich vielenElementenbesteht. 82 GibdieGrundmenge í für a. dasWerfen einesWürfels, b. dasdreimaligeWerfen einerMünzean. a. DaderWürfelnachdemWurf 1,2,3,4,5oder6Augenanzeigen kann, istdieGrundmenge í = {1,2,3,4,5,6}. b. Wirnehmenan,dassdieMünzenachdemWurf entweder „Kopf“oder „Zahl“ zeigtund schreibendafür kurzKbzw.Z.Wir fassendiedreiWürfe in einemZahlentripel zusammen. (K,K,Z) steht zumBeispiel fürdenAusgang „1.Wurf:Kopf,2.Wurf:Kopf,3.Wurf:Zahl“. Dann ist í = {(K,K,K), (K,K,Z), (K,Z,K), (K,Z,Z), (Z,K,K), (Z,K,Z), (Z,Z,K), (Z,Z,Z)}. 83 GibdieGrundmenge fürdasWerfen von zweiWürfelnan. 84 GibdieGrundmenge fürdas a. zweimalige, b. viermaligeWerfen einerMünzean. 85 Janhat in einerSchublade schwarze,blaueund roteSocken.Ergreift inderDunkelheit zweimal hintereinander indieSchubladeund entnimmt ihr zufällig jeweils einenSocken.GibdieGrund- mengediesesZufallsexperimentesan. 86 BeieinemWürfelspiel fürKindergibt eseinen Farbwürfel,dessenSeitendie FarbenRot,Gelb, Blau,Grün,SchwarzundWeißanzeigen,und einenWürfelmitdenZahlen 1,2,3,die jeweilsdop- pelt vorkommen.GibdieGrundmengedesZufallsexperiments „WürfelnmitbeidenWürfeln“an. Zufalls- experiment Grundmenge Ausgangs- menge Grundmenge bestimmen A A A A A mathk5_sb_07189_01.indd 21 28.05.2014 15:15:19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv