Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

39 1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Baumdiagramme Abhängige und unabhängige Ereignisse Elisa soll erraten, ob der Wurf eines Würfels gerade oder ungerade ausgefallen ist. Dabei darf ein Spion verraten, ob die Augenzahl groß (4, 5, 6) oder klein (1, 2, 3) ist. P(gerade 1 groß) = 2 _ 3 > 1 _ 2 = P(gerade). Der Informationszuwachs führt zu einer höheren Wahrscheinlichkeit. Meldet ein anderer Spion „große Augenzahl“ nur bei den Ausgängen 5 und 6, so ist in diesem Fall P(gerade 1 groß) = 1 _ 2 = P(gerade). Hier hat sich also kein Informationszuwachs ergeben. Solche Ereignisse werden als unabhängig bezeichnet. Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander unabhängig , wenn P(A 1 B) = P(A) bzw. P(B 1 A) = P(B) ist. In diesem Fall ist auch P(A ° B) = P(A)·P(B) . Sind zwei Ereignisse nicht unabhängig, so nennt man sie voneinander abhängig . 159 Aus den 45 möglichen Lottozahlen wird eine gezogen. Wir betrachten die Ereignisse A und B: A: die Zahl ist durch 3 teilbar B: die Zahl ist höchstens 30 Überprüfe auf drei Arten, ob diese Ereignisse unabhängig sind. P(A) = 15 _ 45 = 1 _ 3 P(B) = 30 _ 45 = 2 _ 3 P(A ° B) = 10 _ 45 = 2 _ 9 1. Art: P(A)·P(B) = 1 _ 3 · 2 _ 3 = 2 _ 9 = P(A ° B), also sind A und B unabhängig. 2. Art: P(B 1 A) = 10 _ 15 = 2 _ 3 = P(B), also sind A und B unabhängig. 3. Art: P(A 1 B) = 10 _ 30 = 1 _ 3 = P(A), also sind A und B unabhängig. 160 Überprüfe, ob die Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind. a. Es werden zwei Würfel geworfen. A: Augensumme 7 würfeln B: eine ungerade Augensumme würfeln b. Die Zahlen von 1 bis 100 werden auf Lose geschrieben und anschließend wird eine Zahl gezogen. A: eine gerade Zahl ziehen B: eine durch 5 teilbare Zahl ziehen 161 Beim Roulette gibt es verschiedene Möglichkeiten zu setzen. Wir betrachten die folgenden Ereignisse. Rouge: Die Kugel fällt auf eine rote Zahl. Pair: Die Kugel fällt auf eine gerade Zahl (außer 0). Manque: Die Kugel fällt auf eine Zahl von 1 bis 18. 12 P : Die Kugel fällt auf eine Zahl von 1 bis 12 (1. Dutzend). Colonne 35: Die Kugel fällt auf eine der 12 Zahlen der senkrech- ten Reihe (2, 5, 8, … , 35). Überprüfe, ob die folgenden Ereignisse unabhängig sind, und begründe deine Entscheidung. a. Rouge und Pair d. Rouge und 12 P b. Rouge und Manque e. Rouge und Colonne 35 c. Pair und Manque f. 12 P und Colonne 35 abhängige und unabhängige Ereignisse prüfen, ob Ereignisse voneinander unabhängig sind C C C, D 2 4 6 8 10 11 13 15 17 20 22 24 26 28 29 31 33 35 1 3 5 7 9 12 14 16 18 19 21 23 25 27 30 32 34 36 0 12 P 12 P 12 M 12 M 12 D 12 D MANQUE IMPAIR PAIR PASSE Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv