Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 379 1055. B und C [Wenn a nicht von p geteilt wird, ist nach dem kleinen Satz von Fermat a p – 1 mod p = 1, daher ist a p mod p = (a·a p – 1 ) mod p = ((a mod p)(a p – 1 mod p)) mod p = a mod p. Wenn a von p geteilt wird, ist a p mod p = 0 = a mod p. A ist falsch, zum Beispiel (p = 4 und a = 2) ist (2 3 ) mod 2 = 0 und nicht 1.] 1056. Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus für 7 und 60 = 6·10 erhält Alice 43·7 – 5·60 = 1, also ist die Entschlüsselungszahl d = 43. Bob hat 50 7 mod 77 = 8 berechnet, Alice berechnet 8 43 mod 77 = 50. 7.2 Graphen 1077. Schüler/innen werden als Ecken dargestellt. Wenn zwei Schüler/innen miteinander gesprochen haben, werden die entsprechenden Ecken mit einer Kante verbunden. Wenn der Graph nicht zusammenhängend ist bedeutet dass, dass es Gruppen gibt, zwischen denen es keinen Kontakt gibt. 1078. 1079.a. die Route über A, E, G, K in 120 Sekunden b. die Route nach L mit 158 Sekunden 1080. B (Eulerweg), C (Eulertour), D (Eulerweg) Begründung: A : kein Eulerweg möglich, da 4 Ecken ungerade sind. B : keine Eulertour möglich, da genau 2 Ecken ungerade sind. C : Eulertour möglich, da alle Ecken gerade sind. D : keine Eulertour möglich, da genau 2 Ecken ungerade sind. 7.3 Schaltalgebra 1093. f mit f(a, b, c) = (a = b = c) ? ((¬a) = b = (¬c)) ? c 1094. konjunktive Normalform f mit f(a, b, c) = ((¬a) = ( ¬b) = ( ¬ c)) ? ? ( (¬a) = b = ( ¬c)) ? (( ¬a) = b = c) ? (a = ( ¬b) = c) ? (a = b = c) disjunktive Normalform f mit f(a, b, c) = (a ? b ? (¬c)) = = ((¬a) ? b ? c) = ((¬a) ? (¬b) ? c) 1095. konjunktive Normalform: f mit f(a, b, c) = = (a = b = c) ? ((¬a) = b = c) ? (a v (¬b) = c) ? (a = b = (¬c)) 7.4 Lineare Optimierung 1104. a. Wir bezeichnen mit x die Anzahl der m 2 der Anbaufläche für Blumen und mit y die Anzahl der m 2 der Anbaufläche für Gemüse. So ergibt sich das System linearer Ungleichungen: I) 8x + 6y ª 600 II) x + y ª 150 III) x º 0,2·150 IV) y ª 0,5·150 VI) x º 0 VII) y º 0 Dabei soll 25x + 20y möglichst groß sein. Daher werden 30m 2 Blumen und 60m 2 Gemüse angepflanzt. 60m 2 werden nicht bebaut. Der maximale Gewinn beträgt dann 1950€. b. Wir bezeichnen mit x die Anzahl der 8 Personen Zelte und mit y die Anzahl der 12 Personen Zelte. So ergibt sich folgendes System linearer Ungleichungen: I) 300x + 500y ª 3500 II) x ª 5 III) y ª 8 IV) x º 0 V) y º 0 Dabei soll 8x + 12y möglichst groß sein. Am besten ist es daher, 5 Zelte für 8 und 4 Zelte für 12 Personen zu kaufen, so können 88 Personen untergebracht werden. Die Zelte kosten insgesamt genau 3500€. C D E B A F 190 315 344 481 411 54 42 58 26 30 42 50 75 85 68 36 27 24 54 12 64 49 57 45 38 B C F E I D J K L H G Zustellservice A 110 137 120 96 128 148 158 54 42 96 154 84 Person a b c f(a,b,c) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 a b c a b ¬ c a ¬ b c ¬ a b c B G 0 20 40 80 100 60 20 40 60 80 100 (30 1 60) kl. gr. 0 2 4 8 10 6 2 4 6 8 (5 1 4) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv