Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 378 5.4 Fourier-Transformation 928. F (f)( ω ) = 2 _ ω (sin(2 ω ) – sin( ω )) [Weil die Funktion f gerade ist, ist F (f)( ω ) = 2 : 0 • f(t)cos( ω t) dt – 0 = 2 : 1 2 f(t)cos( ω t) dt = 2 : 1 2 cos( ω t) dt + 0 = = 2 _ ω (sin(2 ω ) – sin( ω )), falls ω ≠ 0 ist und F {f}(0) = 2. Weil : ‒ • • f(t)sin( ω t) dt = 0 ist, sind alle Funktionswerte der Fourier- Transformierten reell.] 6 Funktionen in zwei Variablen 6.1 Grundbegriffe 957. 958. a. Der Graph ist die Menge {(x, y, 9x 2 + 4y 2 ) ‡ x, y * R }, also die Lösungsmenge der Gleichung 9x 2 + 4y 2 = z. b. {(x, y)| x, y * R , 9x 2 + 4y 2 = 10}, {(x, y)| x, y * R , 9x 2 + 4y 2 = 20}, {(x, y)| x, y * R , 9x 2 + 4y 2 = 30} c. 6.2 Partielle Ableitungen 995. a. ∂ f _ ∂ x (x, y) = 2 – 6xy + 4y 3 ; ∂ f _ ∂ y (x, y) = 3 – 3x 2 + 12xy 2 b. ∂ f _ ∂ x (x, y) = x 2 __ (x 3 + y 3 ) 2 _ 3 ; ∂ f _ ∂ y (x, y) = y 2 __ (x 3 + y 3 ) 2 _ 3 996. Die Gleichung der Tangentialebene ist x – 7y + z = ‒4 [ ∂ f _ ∂ x (x, y) = 3x 2 – 4x – 4y und ∂ f _ ∂ y (x,y) = 3 – 4x; ∂ f _ ∂ x (‒1, 2)·(x + 1) + + ∂ f _ ∂ y (‒1, 2)·(y – 2) = 7y – x – 15; f(‒1, 2) = 11, also ist 11 + 7y – x – 15 = z die Gleichung der Tangentialebene.] 997. Das Differential ist die lineare Funktion D mit D(x,y) = 12x – 36y; f(1,02, 0,97) ≈ ‒6,68 [ ∂ f _ ∂ x (x, y) = 3·(x – 3y) 2 ; ∂ f _ ∂ y (x, y) = ‒9·(x – 3y) 2 ; ∂ f _ ∂ x (1, 1)·(x – 1) + ∂ f _ ∂ y (1, 1)·(y – 1) = 12x – 36y + 24; f(1, 1) = ‒8, also ist f(1,02, 0,97) ≈ f(1, 1) + D(0,02, ‒0,03) = ‒8 + 1,32 = ‒6,68] 998. Die Gleichung der Tangentialebene ist x + y = z. [ ∂ f _ ∂ x (x, y) = e y + y·e x , ∂ f _ ∂ y (x, y) = e x + x·e y ; ∂ f _ ∂ x (0, 0)·(x – 0) + ∂ f _ ∂ y (0, 0)·(y – 0) = x + y; f(0, 0) = 0, also ist die Gleichung der Tangentialebene x + y = z.] 6.3 Fehlerfortpflanzung 1010. absoluter Fehler: 25,67cm 3 ; relativer Fehler: 10,47% [V(a, h) = 1 _ 3 a 2 h; ∂ V _ ∂ a (a, h) = 2 _ 3 ·ah; ∂ V _ ∂ h (a, h) = 1 _ 3 a 2 , also ist das Differential an der Stelle (7, 15) die lineare Funktion D mit D(a, h) = 70a + 49· h _ 3 . Der absolute Fehler ist D(0,25, 0,5) = 25,67cm 3 . Wegen V(7, 15) = 245 beträgt der relativer Fehler 10,47%.] 1011. relativer Fehler: 0,004 π _ 2 π = 0,002 oder 0,2% [T( ® , g) = 2 π 9 _ ® _ g , daher ist das Differential an der Stelle (1, 1) die Funktion D mit D( ® , g) = = π · ® – π ·g. Somit ist der absolute Fehler 0,004 π und der relative Fehler 0,004 π _ 2 π = 0,002 oder 0,2%.] 7 Diskrete Mathematik 7.1 Kryptographie 1053. 6, 56, 39 1054. NCACEUT [Verschlüsseln: Wir wandeln die Worte MQTXCCS und ALGEBRA in 7-Tupel von Zahlen um: MQTXCCS = (12, 16, 19, 23, 2, 2, 18) und ALGEBRA = (0, 11, 6, 4, 1, 17, 0), addieren die 7-Tupel komponentenweise und ersetzen alle Summen durch ihren Rest nach Division mit Rest durch 26: ((12, 16, 19, 23, 2, 2, 18) + (0, 11, 6, 4, 1, 17, 0)) mod 26 = = (12, 1, 25, 1, 3, 19, 18). Wir ersetzen die Zahlen durch die entspre- chenden Buchstaben und erhalten MBZBDTS. Entschlüsseln: MBZBDTS = (12, 1, 25, 1, 3, 19, 18). ((12, 1, 25, 1, 3, 19, 18) – (12, 16, 19, 23, 2, 2, 18)) mod 26 = = (0, ‒15, 6, ‒22, 1, 17, 0) mod 26 = (0, 11, 6, 4, 1, 17, 0) = ALGEBRA] 0 2 -2 4 6 8 10 12 -4 -6 -8 -10 -12 -2 2 x y 0 -2 -1 2 1 -2 -3 -1 1 2 3 z = 10 z = 20 z = 30 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv