Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 376 c. Ja, denn der Zusammenhang der beiden Merkmale kann mit | r | > 0,8 als sehr stark bezeichnet werden und die Steigung der Funktion ist positiv. Daher bedeuten größere Füße der Eltern auch größere Füße der Söhne. 605. a. K q mit K q (x) = 0,0011x 2 + 0,069x + 3,7622; progressiver Kosten- verlauf 4 x … Anzahl Öfen; K(x) … Kosten; Wir müssen folgendes Gleichungssystem lösen: I) 36971875 a + 619375 b + 11275 c = 124877,5 II) 619375 a + 11275 b + 235 c = 2327,5 III) 11275 a + 235 b + 6 c = 50,9 Die Lösung ist a = 0,0011; b = 0,069; c = 3,7622. Da K q (x) = 0,0022 > 0 ist, ist der Kostenverlauf progressiv. 5 b. K k mit K k (x) = 0,00006x 3 – 0,0062x 2 + 0,338x + 0,9067 4 Wir müssen folgendes Gleichungssystem lösen: I) 1,5·10 11 a + 2321209375 b + 36971875 c + 343000 d = 7382012,5 II) 2321209375 a + 36971875 b + 619375 c + 11275 d = 124877,5 III) 36971875 a + 619375 b + 11275 c + 235 d = 2327,5 IV) 619375 a + 11275 b + 235 c + 6 d = 50,9 Die Lösung ist a = 0,00006; b = 0,0062; c = 0,338; d = 0,9067. 5 c. Die kubische Funktion gibt den Verlauf ein bisschen besser wieder. Da sich die beiden Funktionen vor allem bei den Fix- kosten stark unterscheiden, müssten wir zur Beurteilung, welche Funktion die bessere ist, die Fixkosten kennen. d. 9810€ 4 K k (50) = 9,81 5 606. a. B mit B(t) = 1,4379·e 0,0139t [t …Jahr; t = 0 für 1900; B(t)…Bevölkerung; ; x i ·ln(y i ) = 887,59; n· _ x · _ ln(y) = = 9·64,89·1,265 = 738,77; ; x i 2 = 48576; n· _ x 2 = 9·64,89 2 = = 37896,41; a = ; x i ·ln(y i ) ‒n· _ x· _ ln(y) ___ ; x i 2 ‒n _ x 2 = 887,59 – 738,77 ___ 48576 – 37896,41 = 0,0139 und ln(b) = _ ln(y) – a· _ x = 1,2652 – 0,0139·64,8889 = 0,3632 w b = 1,4379] b. 11,55 Mrd. Menschen [B(150) = 11,55]; Aktuelle Prognosen gehen derzeit von 9 Mrd. Menschen im Jahr 2050 aus. Modelle für Prog- nosen zu verwenden, ist generell schwierig. 607. a. D , r = 1 und die Punkte liegen alle auf der Geraden. Es liegt ein linearer Zusammenhang vor. b. C , r = 0,21 > 0 und die Punkte liegen sehr verstreut. Da r nahe bei 0 ist, kann der Zusammenhang nicht als sinnvoll erachtet werden. c. B , r = ‒0,73 < 0 und die Punkte liegen eher nahe bei der Geraden. Da | r | > 0,6 ist, kann der Zusammenhang als gut bezeichnet werden. d. A , r = 0,97 > 0 und die Punkte liegen sehr nahe bei der Geraden. Da | r | > 0,8 ist, kann der Zusammenhang als sehr gut bezeichnet werden. 4 Differentialgleichungen 4.1 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 1 663. {g + c·f ‡ c * R }, wobei g die Funktion mit g(t) = ‒ 7 _ 4 – 1 _ 2 t und f die Funktion mit f(t) = e 2t ist. [Die Lösungsmenge von y’ – 2y = 0 ist {c·f ‡ c * R } mit f(t) = e 2t , eine Lösung von y’ – 2y = s ist g mit g(t) = ‒ 7 _ 4 – 1 _ 2 t. Die Lösungsmenge von y’ – 2y = s ist daher {g + c·f ‡ c * R }.] 664. a. m’ = ‒ λ ·m; m ist die Funktion, die jedem Zeitpunkt die Masse des Elements zuordnet b. m mit m(t) = c·e ‒ λ ·t c. m mit m(t) = m 0 ·e ‒0,1308·t (m 0 ist die Anfangsmenge) 665. y mit y(x) = 3 – 2e ‒x [Die Lösungsmenge ist {f mit f(x) = 3 + c·e ‒x | c * R }, weil y(0) = 1 ist, muss 3 + c·e 0 = 1, also c = ‒2 sein.] 666. a. T’ = ‒p·(T – T u ) b. T(t) = T u + c·e ‒p·t c. nach 9,6min [T u = 5; T(0) = 90; T(4) = 60, daher ist T(t) = 5 + 85·e ‒0,10883·t . Die Lösung der Gleichung T(t) = 35 ist t = 9,6.] 4.2 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten 710. y mit y(x) = c·e 2x + d·e ‒4x – 1 _ 8 x 2 – 3 _ 16 x – 5 _ 64 (c, d * R) [Die Lösungs- menge der homogenen Differentialgleichung ist {f mit f(x) = c·e 2x + d·e ‒4x | c, d * R }, die Polynomfunktion p mit p(x) = – 1 _ 8 x 2 – 3 _ 16 x – 5 _ 64 ist eine partikuläre Lösung.] 711. y mit y(t) = 3 _ 4 ·e t _ 2 ·cos 2 9 _ 7 _ 2 t 3 + 9 _ 8 ·e t _ 2 ·sin 2 9 _ 7 _ 2 t 3 – 1 _ 4 sin(2t) + 1 _ 4 cos(2t) [Die Lösungsmenge der homogenen Differentialgleichung ist {f mit f(t) = c·e t _ 2 ·cos 2 9 _ 7 _ 2 t 3 + d·e t _ 2 ·sin 2 9 _ 7 _ 2 t 3 | c, d * R }, die Funktion p mit p(t) = – 1 _ 4 sin(2t) + 1 _ 4 cos(2t) ist eine partikuläre Lösung.] 712. a. Schwingungsfall: R < 50 9 __ 10 ≈ 158,11 Ω , aperiodischer Grenzfall: R = 50 9 __ 10 Ω , Kriechfall: R > 50 9 __ 10 Ω b. Lösung für R = 150 Ω : u C mit u C (t) = 100·e ‒150t (cos(50t) – 2sin(50t)) Lösung für R = 50 9 __ 10 Ω : u C mit u C (t) = 100·e ‒50 9 __ 10 t ·(1 + 50 9 __ 10 t) Lösung für R = 200 Ω : u C mit u C (t) ≈ ‒32·e ‒322,47t + 132·e ‒77,53t 4.3 Einige andere Differentialgleichungen 736. a. Ordnung 2 [weil zweite Ableitungen, aber keine höheren vorkommen] b. Für alle reellen Zahlen x ist (f’’·f’’ – f·f’)(x) = 2·2 – (x 2 + 1)·2x = s(x). 737. Anzahl der Öfen Kosten in Tsd € 20 0 40 60 80 0 4 8 12 16 x y 0 -2 -4 2 4 -2 -4 2 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv