Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 375 452. 16% [ ˆ P = 8 _ 50 = 0,16 = 16%] 453. 0,4514 [ ˆ P ist normalverteilt mit μ = 0,55 und σ = 9 ______ 0,55·(1 – 0,55) __ 100 = = 0,0497. P(0,52 ª X ª 0,58) = P 2 0,52 – 0,55 __ 0,0497 ª Z ª 0,58 – 0,55 __ 0,0497 3 = P(‒0,60 ª Z ª 0,60) = = 0,7257 – 0,2743 = 0,4514] 454. 22500 Menschen 4 N … Bevölkerungszahl; 675 : N = 3 : 100 w N = 675· 100 _ 3 = 22500 5 3.2 Konfidenzintervalle 500. [10,03; 10,17] 4 _ x = 10,1; σ = 0,2 bekannt; 4 _ x ‒ u 1+ γ _ 2 · σ _ 9 _ n ; _ x + u 1+ γ _ 2 · σ _ 9 _ n 5 = = 4 10,1 ‒1,645· 0,2 _ 9 __ 20 ; 10,1 + 1,645· 0,2 _ 9 __ 20 5 = [10,03; 10,17] 5 501. a. [34,90; 35,08] 4 _ x = 34,99; s = 0,12; n – 1 = 9, 1 + γ _ 2 = 1 + 0,95 _ 2 = 0,975; 4 _ x ‒t n‒1, 1+ γ _ 2 · s _ 9 _ n ; _ x + t n‒1, 1+ γ _ 2 · s _ 9 _ n 5 = = 4 34,99 ‒2,262· 0,12 _ 9 __ 10 ; 34,99 + 2,262· 0,12 _ 9 __ 10 5 = [34,90; 35,08] 5 b. [0,08; 0,22] 4 1 – γ _ 2 = 1 – 0,95 _ 2 = 0,025; 4 9 ____ (n ‒1)·S 2 __ χ n‒1; 1+ γ _ 2 2 ; 9 ____ (n ‒1)·S 2 __ χ n‒1; 1‒ γ _ 2 2 5 = = 4 9 ______ (10 ‒1)·0,12 2 __ 19,023 ; 9 ______ (10 ‒1)·0,12 2 __ 2,7 5 = [0,08; 0,22] 5 502. [0,296; 0,554] 4 ˆ p = 17 _ 40 = 0,425; n = 40; 1 + γ _ 2 = 1 + 0,90 _ 2 = 0,95; 4 ˆ p ‒u 1+ γ _ 2 · 9 ____ ˆ p·(1 ‒ˆ p) __ n ; ˆ p + u 1+ γ _ 2 · 9 ____ ˆ p·(1 ‒ˆ p) __ n 5 = = 4 0,425 ‒1,645· 9 _______ 0,425·(1 ‒0,425) ___ 40 ; 0,425 + 1,645· 9 _______ 0,425·(1 ‒0,425) ___ 40 5 = = [0,296; 0,554] 5 503. mindestens 9604 Personen 4 n = 2 u 1+ γ _ 2 · 1 _ 2a 3 2 = 2 u 0,975 · 1 _ 2·0,01 3 2 = = 2 1,96· 1 _ 0,02 3 2 = 9604 5 3.3 Testen von Hypothesen 572. a. H 0 : p = 1 _ 3 (Kind wählt zufällig aus); H 1 : p > 1 _ 3 b. 0,0034 4 X … Anzahl der erfolgreichen Versuche; X~B 10; 1 _ 3 . Das Sig- nifikanzniveau ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art, also P 2 X º 8 1 p = 1 _ 3 3 = 2 10 8 3 · 2 1 _ 3 3 8 · 2 2 _ 3 3 2 + 2 10 9 3 · 2 1 _ 3 3 9 · 2 2 _ 3 3 1 + 2 10 10 3 · 2 1 _ 3 3 10 · 2 2 _ 3 3 0 = = 0,0034. 5 573. a. H 0 : μ = 175g; H 1 : μ < 175g; σ = 25g b. Die Äpfel haben nicht die geforderte Mindestmasse. [einseitiger u-Test: U = _ X ‒μ 0 _ σ _ 9 _ n = 168 ‒175 __ 25 _ 9 __ 100 = ‒2,8; u 0,05 = ‒1,645, also ist U < u 0,05 w Verwerfung der Nullhypothese] 574. a. H 0 : μ Philomena = μ Sissy , H 1 : μ Philomena > μ Sissy . Alle Parameter sind unbekannt, daher führen wir einen T-Test durch und berechnen die Teststatistik T = 86 – 82 _ 9 ____ 8 2 _ 12 + 5 2 _ 12 = 1,47 und d = min(12 – 1, 12 – 1) = 11. T = 1,47 < 1,796 = t 11; 0,95 w Annahme der Nullhypothese. Die Vermu- tung, dass die neue Sorte größere Kelche hat, kann nicht bestätigt werden. 575. Die Sitzplatzwahl ist nicht zufällig. [H 0 : p i = 0,1 für i = 1, 2, …, 10 h i p i e i (h i – e i ) 2 __ e i Sessel 1 5 0,1 10 2,50 Sessel 2 6 0,1 10 1,60 Sessel 3 15 0,1 10 2,50 Sessel 4 9 0,1 10 0,10 Sessel 5 8 0,1 10 0,40 Sessel 6 11 0,1 10 0,10 Sessel 7 16 0,1 10 3,60 Sessel 8 8 0,1 10 0,40 Sessel 9 4 0,1 10 3,60 Sessel 10 18 0,1 10 6,40 T = ; i = 1 10 (h i ‒e i ) 2 _ e i = 21,20; χ 2 9; 0,95 = 16,919, also ist T > χ 2 9; 0,95 w Verwerfung der Nullhypothese] 576. Die Lebensdauer hängt nicht vom Preis ab. [H 0 : Lebensdauer und Preis sind unabhängig. h ij g m t lang 0,18 0,26 0,09 kurz 0,16 0,23 0,08 e ij g m t lang 213,72 307,89 107,39 kurz 190,28 274,11 95,61 Daraus ergibt sich für QK ij : Preissegment günstig mittel teuer Lebensdauer länger als Herstellerangabe 0,36 0,00 0,86 Lebensdauer kürzer als Herstellerangabe 0,40 0,00 0,97 QK = 0,36 + 0,86 + 0,4 + 0,97 = 2,59; χ 2 2; 0,99 = 9,21, also ist QK < χ 2 2; 0,99 w Annahme der Nullhypothese] 3.4 Regression und Korrelation 604. a. S mit S(x) = 1,198x – 6,8317 [x … Schuhgröße Eltern; y … Schuh- größe Sohn; n = 7, _ x = 41,71; _ y = 43,14; ; i = 1 7 x i y i = 12615; ; i = 1 7 x i 2 = 12195 w a = 12615 ‒7·41,71·43,14 ___ 12195 ‒7·41,71 2 = 1,198; b = 43,14 – 1,198·41,71 = ‒6,8317] b. r 2 = 0,72; r = 0,84 [ ; i = 1 7 (x i – _ x)(y i ‒ _ y) = 17,29; ; i = 1 7 (x i – _ x) 2 = 14,43; ; i = 1 7 (y i – _ y) 2 = 28,86 w r = 17,29 __ 9 ___ 14,43· 9 ___ 28,86 = 0,84; r 2 = 0,72] Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv