Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 374 218. B [ A und C können unter anderem deshalb nicht richtig sein, da es unmöglich ist, die Augensumme 1 zu würfeln. Daher muss P(X = 1) = 0 sein. Sowohl für die Augensumme 2 als auch für die Augensumme 12gibt es nur jeweils einen einzigen günstigen Aus- gang. Daher muss P(X = 2) = P(X = 12) gelten. Das ist nur bei Dia- gramm B der Fall.] 2.2 Erwartungswert und Varianz von diskreten Zufallsvariablen 257. 0,11€; Da Manuels Erwartungswert größer als 0€ ist, ist er bei die- sem Spiel Lukas gegenüber im Vorteil. Das Spiel ist nicht fair. [Abzählen zeigt, dass Manuel in 20 von 36möglichen Ausgängen 1€ dazugewinnt und in 16 von 36möglichen Ausgängen seinen Einsatz von 1€ verliert. Der Erwartungswert ist daher 20 _ 36 ·1 + 16 _ 36 ·(‒1) = 1 _ 9 = 0,11.] 258. a. E(X) = 2,572; V(X) = 0,937; 9 ___ V(X) = 0,968 4 E(X) = 0,12·1 + 0,39·2 + 0,31·3 + 0,16·4 + 0,018·5 + 0,002·6 = = 2,572 V(X) = 0,12·(1 – 2,572) 2 + 0,39·(2 – 2,572) 2 + 0,31·(3 – 2,572) 2 + + 0,16·(4 – 2,572) 2 + 0,018·(5 – 2,572) 2 + 0,002·(6 – 2,572) 2 = = 0,937 9 ___ V(X) = 0,968 5 b. Im Schnitt leben 2,752 Personen in einem gemeinsamen Haus- halt, die durchschnittliche Abweichung von diesem Mittelwert beträgt ca. 1 Person. 2.3 Binomialverteilung 300. C Begründung: A ist nicht binomialverteilt, denn bei einer Bino- mialverteilung muss die Zufallsvariable zählen, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt. B ist nicht binomialverteilt, denn die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zu ziehen, ändert sich bei jeder Ziehung. B ist binomialverteilt. Bei jeder der 20 Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blauäugige Person auszuwählen gleich. 301. X … Anzahl der richtigen Antworten; n = 12; p = 1 _ 3 a. P(X = 12) = 0,00000189 [P(X = 12) = 2 12 12 3 · 2 1 _ 3 3 12 · 2 2 _ 3 3 0 = 1 _ 3 12 = = 0,00000189] b. P(X º 6) = ; j = 6 12 P(X = j) = 0,1777 c. P(X = 0) = 0,0077 302. X … Anzahl der Sechser; E(X) = 10; 9 ___ V(X) = 2,89 [E(X) = 60· 1 _ 6 = 10; 9 ___ V(X) = 9 ____ 60· 1 _ 6 · 5 _ 6 = 2,89] 2.4 Stetige Zufallsvariable 334. B , C Begründung: F kann eine Verteilungsfunktion sein, denn F ist auf [0; 10] monoton wachsend, F(0) = 0 und F(10) = 1. G kann kei- ne Verteilungsfunktion sein, denn G(10) = 10 ≠ 1. H kann keine Ver- teilungsfunktion sein, denn H ist nicht auf ganz [0; 10] monoton wachsend. 335. 0,047 [P(1 ª X ª 2) = : 1 2 3·e ‒3x dx = ‒e ‒3x 1 1 2 = ‒e ‒6 + e ‒3 = 0,047] 336. 10000 Stunden [E(X) = : 0 • x· 1 _ 10 e ‒ x _ 10 dx = 10000] 337. Median: 2· 9 _ 3 = 2,83; unteres Quartil: 2; oberes Quartil: 2· 9 _ 3 = 3,46 [Wir formen : 0 a x _ 8 dx = p um zu a = 4 9 _ p. Für p = 1 _ 2 erhalten wir den Median 4 9 _ 1 _ 2 = 2 9 _ 2 = 2,83, für p = 0,25 das untere Quartil 4 9 ___ 0,25 = 2 und für p = 0,75 das obere Quartil 4 9 ___ 0,75 = 2 9 _ 3 = 3,46.] 338. V(X) = 5,56; σ = 2,36 [E(X) = : 0 10 x· x _ 50 dx = 20 _ 3 ; E(X 2 ) = : 0 10 x 2 · x _ 50 dx = 50; Also ist V(X) = E(X 2 ) ‒E(X) 2 = 50 – 2 20 _ 3 3 2 = 50 _ 9 = 5,56 und σ = 9 __ 50 _ 9 = 5 9 _ 2 _ 3 = 2,36.] 2.5 Normalverteilung 388. 389. μ = 6; σ = 2,5 390. X … Länge der Schraube a. P(X º 38,3) = 0,0013 [P(X º 38,3) = 1 – P(X < 38,3) = 1 – Φ 2 38,3 ‒38 __ 0,1 3 = = 1 – Φ (3) = 0,0013] b. P(X ª 37,9) = 0,1587 [P(X ª 37,9) = Φ 2 37,9 ‒38 __ 0,1 3 = Φ (‒1) = 0,1587] c. P(37,8 ª X ª 38,1) = 0,8185 [P(37,8 ª X ª 38,1) = = P(X ª 38,1) ‒ P(X ª 37,8) = 0,8185] 391. 0,1977 [X … Anzahl Buben; X ~ B 5000; 0,514 ; μ = 5000·0,514 = 2570; σ = 9 __________ 5000·0,514·0,486 = 35,34; P(X > 2600) = 1 – P(X ª 2600) = 1 – Φ 2 2600 – 2570 __ 35,34 3 = 1 – Φ (0,85) = = 1 – 0,8023 = 0,1977] 392. 537 Plätze [X … Anzahl der kommenden Personen; Anzahl der Reservierungen: n; X ~ B 0,9·n; 0,9·0,1·n ; P(X ª 500) = Φ ( 500 ‒0,9n __ 9 __ __ 0,9·0,1·n ) = 0,99, also ist 500 ‒0,9n __ 9 __ __ 0,9·0,1·n = 2,325. Die Lösung dieser Gleichung ist n = 537,6.] 3 Schließende Statistik 3.1 Stichproben und Schätzungen 448. _ x = 138,18; s 2 = 93,15 [ _ x = 1 _ 17 (132 + 140 + … + 130) = 138,18; s 2 = 1 _ 16 [(132 – 138,18) 2 + (140 – 138,18) 2 + … + (130 – 138,18) 2 ] = = 93,15] 449. μ ≈ _ x = 178,10g; σ 2 ≈ s 2 = 17,21g 4 _ x = 1 _ 10 (177 + 175 + … + 182) = 178,10; s 2 = 1 _ 9 4 (177 – 178,1) 2 + (175 – 178,1) 2 + … + (182 – 178,1) 2 5 = 17,21 5 450. _ X ~ N 2 1002; 7 2 _ 13 3 451. 0,0385 4 X ~ N(75; 8 2 ), daher ist _ X ~ N 2 75; 8 2 _ 8 3 . Das Mittel darf 640 _ 8 = 80kg nicht überschreiten. P( _ X > 80) = 1 – P( _ X ª 80) = 0,0385 5 1 2 0 3 0 0,2 0,4 0,6 Anzahl der Sechser Wahrscheinlichkeit x f(x) 0 0,2 3,5 2 0,5 W 1 W 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv