Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 373 1 Grundlagen der Stochastik 1.1 Was ist Stochastik? 7. a. Wasser gefriert ab 0°C. Der Zustand von Wasser bei ‒15°C ist also Eis. Der Zustand ist nicht vom Zufall gelenkt. b. Der Höhe eines Gewinns kann nicht vorhergesagt werden. Der Gewinn ist vom Zufall gelenkt. c. Es handelt sich um einen Zustand in der Vergangenheit, der fest- gestellt werden kann. Die Anzahl ist nicht vom Zufall gelenkt. d. Es handelt sich um einen Zustand in der Zukunft, der nicht vor- hergesagt werden kann. Die Anzahl ist vom Zufall gelenkt. 1.2 Kombinatorische Grundlagen 75. 2 10 = 1024 Möglichkeiten [Für jede Frage gibt es 2mögliche Antwor- ten. Bei insgesamt 10 Fragen gibt es also 2·2·…·2 = 2 10 Möglich- keiten, die Fragen zu beantworten.] 76. 25 Möglichkeiten [Die ungeraden Ziffern sind 1, 3, 5, 7 und 9. Es gibt daher 5 Möglichkeiten für die erste Stelle und 5 für die zweite Stel- le, insgesamt also 5·5 = 25 Möglichkeiten, zweistellige Zahlen aus ungeraden Ziffern zu bilden.] 77. 120 Möglichkeiten [Es stehen 5 Ziffern zur Verfügung. Für die Wahl der ersten gibt es 5 Möglichkeiten. Da die Ziffern alle unterschied- lich sein sollen, gibt es für die zweite 4 Möglichkeiten, für die dritte 3 und für die vierte 2 Möglichkeiten. 5·4·3·2 = 120.] 78. 14! = 87178291200 Möglichkeiten [Eine Reihenfolge ist eine Permu- tation von 14 Kindern. Es gibt 14! = 14·13·…·2·1 = 87178291200 solche Permutationen.] 79. 1,69·10 26 Möglichkeiten [Insgesamt stehen 60 Fliesen zur Verfü- gung. Die hellblauen, weißen und dunkelblauen Fliesen sind jeweils untereinander nicht unterscheidbar. Es handelt sich also um Per- mutationen mit Wiederholungen. Die Anzahl der möglichen Anord- nungen ist 60! __ 20!·25!·15! = 1,69·10 26 .] 80. 325 Möglichkeiten [Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 aus 26 Schüler- innen auszuwählen, ist 2 26 2 3 = 26! _ 2!·24! = 325.] 81. A und F , B und E , C und H , D und G [Für alle natürlichen Zahlen n und k mit 0 ª k ª n ist 2 n k 3 = 2 n n ‒k 3 , also ist zum Beispiel 2 12 8 3 = 2 12 12 ‒8 3 = 2 12 4 3 .] 1.3 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume 150. Grundmenge: {KKK, KKZ, KZK, ZKK, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ} a. {ZZK, ZKZ, KZZ} b. {ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ} c. {ZZZ} d. { } 151. a. 1 _ 2 4 Es gibt insgesamt 52 Karten, davon sind 26 rot. Die Wahr- scheinlichkeit, eine rote Karte zu ziehen, ist also 26 _ 52 = 1 _ 2 . 5 b. 0,2451 [Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte zu ziehen, ist 26 _ 52 . Danach sind nur noch 25 rote und insgesamt 51 Karten im Spiel. Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug eine rote Karte zu zie- hen, ist also 25 _ 51 . Daher beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 26 _ 52 · 25 _ 51 = 0,2451.] c. 0,2549 4 26 _ 52 · 26 _ 51 = 0,2549 5 152. a. 2 _ 9 4 Insgesamt gibt es 36mögliche Wurf-Ergebnisse. Die Augen- summe 7 entspricht den Würfen (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3). Die Augensumme 11 entspricht den Würfen (5, 6), (6, 5). Die Wahrscheinlichkeit ist daher 6 _ 36 + 2 _ 26 = 8 _ 36 = 2 _ 9 . 5 b. 1 _ 6 4 Die Augensumme 2 entspricht dem Wurf (1, 1), die Augensum- me 3 den Würfen (1, 2), (2, 1), die Augensumme 12 dem Wurf (6, 6). Die Wahrscheinlichkeit, sofort zu verlieren, ist daher 1 _ 36 + 2 _ 36 + 1 _ 36 = 4 _ 36 = 1 _ 9 . 5 153. a. 0,06316 [Anzahl mögliche Ausgänge: m = 2 21 3 3 = 1330; Anzahl günstige Ausgänge: g = 2 9 3 3 = 84 Möglichkeiten; gesuchte Wahrscheinlichkeit: g _ m = 84 _ 1330 = 0,06316] b. 0,27368 [g = 2 14 3 3 = 364; g _ m = 364 _ 1330 = 0,27368] c. 0,23684 [g = 2 9 1 3 · 2 7 1 3 · 2 5 1 3 = 9·7·5 = 315; g _ m = 315 _ 1330 = 0,23684] d. 0,57895 [g = 2 16 3 3 = 560; 1 – g _ m = 1 – 560 _ 1330 = 0,57895] 1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Baumdiagramme 193. 0,12 [P(Augensumme 8 1 kein Sechser gewürfelt) = = P(kein Sechser und Augensumme 8) _____ P(kein Sechser) = 3 _ 36 _ 25 _ 36 = 3 _ 25 = 0,12] 194. a. unabhängig, denn P(A) = P(A 1 B) = 1 _ 2 [Es gibt 36mögliche Ausgänge (siehe Grafik Seite 37). P(A) = 18 _ 36 = 1 _ 2 , P(A 1 B) = 9 _ 18 = 1 _ 2 . Also ist P(A) = P(A 1 B) und somit sind A und B unabhängig.] b. abhängig, denn P(A) = 3 _ 4 aber P(A 1 B) = 1 _ 2 4 P(A) = 27 _ 36 = 3 _ 4 , P(A 1 B) = 9 _ 18 = 1 _ 2 5 195. 0,062 4 P(2 Nieten) = 1 _ 4 · 99 _ 399 = 33 _ 532 = 0,062 5 196. 0,7879 [P(Produktionsfehler) = 0,65·0,04 + 0,35·0,02 = 0,033; P(Firma A und Produktionsfehler) = 0,65·0,04 = 0,026. Also ist P(Firma A 1 Produktionsfehler) = 0,026 _ 0,033 = 0,7879.] 2 Zufallsvariable und ihre Verteilungen 2.1 Diskrete Zufallsvariable 217. a. s… Sechser, k… kein Sechser Ω = {(s, s, s), (k, s, s), (s, k, s), (s, s, k), (k, k, s), (k, s, k), (s, k, k), (k, k, k)} b. M X = {0, 1, 2, 3} c. 300G, 100N 299G, 100N 298G, 100N 299G, 99N 299G, 99N 300G, 98N 300G, 99N G N G N G N 3 4 1 4 99 399 300 399 100 399 299 399 0,65 0,35 0,04 0,96 0,02 0,98 Firma A Produktions- fehler in Ordnung Produktions- fehler in Ordnung Firma B x P(X = x) 0 5 _ 6 · 5 _ 6 · 5 _ 6 = 125 _ 216 = 0,5787 1 5 _ 6 · 5 _ 6 · 1 _ 6 ·3 = 25 _ 72 = 0,3472 2 5 _ 6 · 1 _ 6 · 1 _ 6 ·3 = 5 _ 72 = 0,0694 3 1 _ 6 · 1 _ 6 · 1 _ 6 = 1 _ 216 = 0,0046 Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv