Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

37 1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Baumdiagramme Ich lerne bedingte Wahrscheinlichkeiten kennen und diese zu berechnen. Ich lerne zu unterscheiden, ob Ereignisse abhängig oder unabhängig sind. Ich lerne Baumdiagramme zu erstellen und mit ihrer Hilfe Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Ich lerne mithilfe eines Baumdiagramms zu berechnen, wie sich die Kenntnis bestimmter Informationen auf die Wahrscheinlichkeit gegebener Alternativen auswirkt. Bedingte Wahrscheinlichkeit Beim Monopoly-Spiel wird mit zwei Spielwürfel gewürfelt. Max hofft, eine Augensumme von mindestens 8 zu werfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis? In der graphischen Übersicht sind alle 36 möglichen Ausgänge dieses Zufallsexperimentes aufgelistet. Eine Augensumme von mindestens 8 ergibt sich in 15 günstigen Fällen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit P(Augensumme mindestens 8) = 15 _ 36 ≈ 0,417. Um die Spannung zu steigern, wirft Max seine Würfel allerdings nicht gleichzeitig, sondern hintereinander. Der erste Würfel fällt auf die Zahl 3. Ändert das etwas an der Wahrscheinlichkeit, eine Augensumme von mindestens 8 zu werfen? Ja, denn jetzt gibt es für den zweiten Würfel 6 mögliche Ausgänge, von denen 2 günstig sind (nämlich die Augenzahlen 5 und 6). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 ist, unter der Bedingung, dass der erste der beiden Würfel 3 Augen anzeigt, ist P(Augensumme mindestens 8 1 erster Würfel zeigt 3) = 2 _ 6 ≈ 0,333. Wir nennen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, von dessen Ausgang uns schon einige Informationen (Bedingungen) bekannt sind, bedingte Wahrscheinlichkeit. Betrachten wir die Ereignisse als Teilmengen der Grundmenge und schreiben als Abkürzung Ω für die Grundmenge beim Werfen von zwei Würfeln, E für das Ereignis „Eine Augensumme von mindestens 8 werfen“, B für das Ereignis „Der erste Würfel zeigt die Augenzahl 3“. Dann enthält die Menge E ° B genau diejenigen Ausgänge, bei denen der erste Würfel die Augenzahl 3 anzeigt und die Augensumme mindestens 8 ergibt. Ist M eine Menge dann schreiben wir |M| für die Anzahl der Elemente von M. Beispiel: Ist M die Menge {2, 3, 8}, dann ist |M| = 3. Die Wahrscheinlichkeit P(E 1 B) von E unter der Voraussetzung, dass B bereits eingetreten ist, ist die Anzahl |E ° B| der günstigen Ausgänge, geteilt durch die Anzahl |B| der möglichen Ausgänge, also P(E 1 B) = |E ° B| _ |B| . ð E B E ° B Anzahl der Elemente einer Menge Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv