Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

360 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung 1360 Den Anteil der Bevölkerung eines Gebietes, in dem vor t Tagen eine ansteckende Krankheit aus- gebrochen ist, bezeichnen wir mit y(t), den Anteil der (noch) nicht erkrankten Bevölkerung, nen- nen wir x(t). Es ist also x(t) + y(t) = 1. Wir treffen die folgenden Annahmen: Die Krankheit breitet sich durch den Kontakt zwischen gesunden und kranken Personen aus und die Ausbreitungsrate y’ ist proportional zur Anzahl solcher Kontakte. Die Mitglieder beider Gruppen bewegen sich ungehindert untereinander und die Anzahl der Kon- takte t Tage nach Ausbruch der Krankheit ist zum Produkt von x(t) und y(t) proportional. Die Funktion y ist daher Lösung des folgenden Anfangswertproblems: y’ = λ ·y·(1 – y) mit y(0) = y 0 , dabei ist λ eine positive reelle Zahl y 0 der Anteil der zu Beginn erkrankten Personen. a. Die Lösung des Anfangswertproblems ist y mit y(t) = y 0 ___ y 0 + (1 – y 0 )·e ‒ λ ·t . Begründe, warum. b. Bestimme die Zahl λ , wenn der Anteil der kranken Personen zu Beginn 0,05 und nach 10 Tagen 0,125 beträgt. c.  Zeichne für y(0) = 0,05 den zeitlichen Verlauf der Verbreitung der Krankheit in den ersten 100 Tagen für drei unterschiedliche Zahlen λ in ein Diagramm.  Interpretiere den Einfluss der Zahl λ auf den zeitlichen Verlauf der Verbreitung der Krankheit. 1361 Die Konzentrationsänderung bei Zerfall von Stickstoff(V)- oxid wurde untersucht. Dafür wurde zu verschiedenen Zeitpunkten bei einer Temperatur von 23 °C die Stickstoff- konzentration gemessen. Die dabei aufgenommenen Daten können der Tabelle entnommen werden. a. Stelle die Zahlenpaare (Zeitpunkt 1 Konzentration) in einem Koordinatensystem dar. b. Eine Reaktion ist erster Ordnung, wenn die Funktion f, die jedem Zeitpunkt t die Konzentration zu dieser Zeit zuordnet, eine Exponentialfunktion mit f(t) = a·e ‒bt verläuft. Zeige, dass sich der Zerfall von Stickstoff(V)- oxid eine Reaktion erster Ordnung ist. c. Die Zusammensetzung g dieser Funktion f mit dem natürlichen Logarithmus ist eine lineare Funktion, weil g(t) = ln(f(t)) = ln(a) – b·t ist.  Bestimme aus den Daten der Tabelle mit linearer Regression die lineare Funktion g.  Überprüfe mithilfe des Korrelationskoeffizienten nach Pearson, ob der lineare Zusammen- hang zwischen der Zeit und dem Logarithmus der Konzentration stark ist. A, B, D A, B, D t in min Konzentration N 2 O 5 in mmol/ ® 0 10 100 8,19 200 6,66 300 5,46 400 4,5 500 3,71 600 3,04 700 2,51 800 2,05 900 1,61 1 000 1,33 Nur zu Prüf wecken – Eigentum des Verlags öbv