Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

359 8.4 Aufgaben Teil B Cluster 5 1358 Die Geschwindigkeit einer Reaktion zweiter Ordnung wird durch die Funktion r mit r(c) = k·c 2 genähert. Dabei ist k die Geschwindigkeitskonstante in ® /(mol·s), c die Konzentration in mol/ ® und r(c) die Reaktionsgeschwindigkeit in mol/( ® ·s). a. Für eine bestimmte Reaktion ist k = 0,85 ® /(mol·s). Zeichne den Funktionsgraphen für Konzen- trationen bis zu 2,5mol/ ® . b. Die Geschwindigkeit einer Reaktion 2. Ordnung wird durch die Funktion b mit b(c) = 0,5·c 2 beschrieben. Zeichne den Graphen der Funktion mithilfe einer geeigneten Skalierung so, dass der Verlauf linear erscheint. c. Im Diagramm ist die Reaktionsgeschwindigkeit r einer Reaktion 2. Ordnung dargestellt. Lies aus dem Diagramm die Konzentration bei einer Reaktions- geschwindigkeit von 0,1mol/( ® ·s) ab. d. Die Geschwindigkeit einer Reaktion 2. Ordnung wird durch die Funktion b mit b(c) = 0,68·c 2 beschrieben. Berechne die momentane Reaktionsgeschwindig- keit für eine Konzentration von 1mol/ ® und doku- mentiere, wie sich die momentane Reaktionsge- schwindigkeit ändert, wenn sich die Geschwindig- keitskonstante der Reaktion halbiert. 1359 Bei Mordfällen oder bei Untersuchungen eines Unfalls mit Todesfolge kann die Bestimmung des möglichst genauen Todeszeitpunkts von Bedeutung sein. Aus Erfahrung ist bekannt, dass sich die Oberflächentemperatur eines leblosen Körpers proportional zur Differenz zwischen der Tem- peratur des Körpers und der Umgebungstemperatur ändert (Newtonsches Abkühlungsgesetz). Bezeichnen wir mit θ (t) die Körpertemperatur zum Zeitpunkt t und die konstante Umgebungs- temperatur mit θ U , so kann der Temperaturausgleich durch das folgende Anfangswertproblem beschrieben werden: d θ _ dt = ‒ k· 2 θ – θ U 3 ; Anfangsbedingung θ (0) = θ 0 ; t in h, θ in °C Der Abkühlungskoeffizient (Proportionalitätsfaktor) k > 0 kann aus einem weiteren Messwert θ (t 1 ) = θ 1 ermittelt werden. a. Berechne die Lösung des Anfangswertproblems mit θ (0) = θ 0 .  Ermittle aus dem weiteren Messwert θ (t 1 ) = θ 1 in allgemeiner Form den Abkühlungs- koeffizient k.  Bestimme in allgemeiner Form den Todeszeitpunkt t T , wobei k, θ 1 und θ U als bekannt angesehen werden können. b. Zum Zeitpunkt der Auffindung (t = 0) eines Leichnams beträgt die Körpertemperatur 27,8 °C. Drei Stunden später beträgt die Temperatur nur mehr 21,5 °C. Die Umgebungstemperatur ist konstant 18 °C. Die Temperatur des Leichnams wird zum Zeitpunkt des Todes mit 36,6 °C angenommen.  Berechne den Todeszeitpunkt auf Minuten genau.  Berechne, nach welcher Zeitdauer nach dem Auffinden des Leichnams dessen Temperatur auf 21 °C abgesunken ist.  Zeichne den zeitlichen Temperaturverlauf für den Zeitraum vom Eintritt des Todes bis 10h nach der Auffindung. c. Der Abkühlvorgang eines Körpers wird durch die Funktion f mit f(t) = a·e ‒ t _ b + c beschrieben. Untersuche, wie sich der Abkühlvorgang verändert, wenn b vergrößert wird. Begründe. A, B, C 0,1 1 10 100 10 2 5 1 c[ mol/l ] r[ mol/(l ∙ s) ] A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv