Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

358 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung 1355 Ein Körper mit einer Masse von m = 0,5 kg dehnt eine Feder um 10 cm. Die Masse ist mit einer Dämpfungsvorrichtung verbunden, die durch die Dämpfungskonstante r = 30Ns/m beschrieben wird. Dieser Körper wird aus seiner Gleichgewichtslage y(0) = 0 cm mit einer Geschwindigkeit von 10m/s nach unten in Bewegung versetzt. Mit y(t) cm bezeichnen wir die Auslenkung der Feder zur Zeit t s. Für den Schwingungsvorgang gelten folgende Annahmen:  Die rücktreibende Federkraft F Feder ist der Auslenkung proportional, das heißt, es gilt F Feder = ‒ k·y für eine geeignete positive Zahl k.  Die Reibungskraft F Reibung ist der Geschwindigkeit proportional, dh. es gilt F Reibung = ‒ r· dy _ dt . Die Auslenkungsfunktion y ist eine Lösung der linearen Differentialgleichung d 2 y _ dt 2 + r _ m · dy _ dt + k _ m ·y = 0. a. Leite aus dem dynamischen Grundgesetz F = m·a die gegebene Differentialgleichung her. b. Überprüfe, ob dieses System überhaupt schwingen kann. c.  Berechne jene Lösung der gegebenen Differentialgleichung, die die in der Angabe enthaltenen Anfangsbedingungen erfüllt.  Gib die Kreisfrequenz an, mit der das System schwingt.  Stelle den Graphen von y über einem sinnvoll gewählten Intervall dar. 1356 Im langjährigen Durchschnitt schwankt der monatliche Mittelwert der Lufttemperatur um das Jahresmittel. Dieser Vorgang lässt sich durch eine Funktion A mit A(t) = a·sin(b·t + c) + d beschreiben, dabei sind a, b c und d reelle Zahlen und t die Zeit in Monaten, beginnend bei t = 0 im Jänner. a. Finde eine Funktion A, wenn das Jahresmittel in Wien 2013 bei 12,0 °C lag, das Minimum im Jänner mit 0,2 °C und das Maximum im Juli mit 23,8° erreicht wurde. b. Für eine Stadt ist der Temperaturverlauf gegeben durch B(t) = 10,5·sin 2 π _ 6 ·t + π _ 2 3 + 14,7. Zeichne den Graphen der Funktion und lies aus der Grafik ab, zu welchen Zeitpunkten t die Temperatur maximal ist. c. Bestimme die durchschnittliche Temperatur in einem Ort, wenn dessen Temperaturverlauf durch die Funktion C mit C(t) = 10,1·sin 2 π _ 6 ·t – π _ 2 3 + 7,9 gegeben ist. d. Interpretiere die Bedeutung der Zahlen a, b, c und d in der Funktion A mit A(t) = a·sin(b·t + c) + d, die jedem Zeitpunkt t in Monaten, beginnend mit Jänner, die Temperatur zuordnet. e. Erkläre, wie sich die Zahl d in der Funktion E mit E(t) = 9,5·sin 2 π _ 6 ·t + π _ 6 3 + d ändern muss, wenn die mittlere Jahrestemperatur um 1 °C steigt, die Schwankung um die Jahrestemperatur aber gleich bleibt. 1357 Die Leitfähigkeit einer Kaliumchloridlösung hängt linear von der Massenkonzentration ab. Um die Leitfähigkeit bei einer bestimmten Temperatur zu bestimmen, wurde sie bei ver- schiedenen Konzentrationen gemessen. Die Daten dafür können der nachfolgenden Tabelle entnommen werden. a. Stelle die Zahlenpaare (Konzentration 1 Leitfähigkeit) in einem Koordinatensystem dar. b. Bestimme mithilfe der linearen Regression eine lineare Funktion, die jeder Konzentration die entsprechende Leitfähigkeit zuordnet. c. Ermittle den Korrelationskoeffizienten nach Pearson und beurteile, ob der die lineare Abhän- gigkeit von Konzentration und Leitfähigkeit gut beschrieben wird. d. Bei der Konzentration β ist die Leitfähigkeit L( β ) = 1,55· β + 18. Berechne die Leitfähigkeit bei einer Konzentration von 330mg/ ® und dokumentiere, wie sich die Leitfähigkeit verändert, wenn die Konzentration verdoppelt wird. A, B, C, D Konzentration KCl in mg/ ® Leitfähigkeit in ms/cm 100 182 200 342 300 532 400 678 500 851 600 1 002 A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv