Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

357 8.4 Aufgaben Teil B 1352 Bei Roboterarmen sind starre Elemente mit Drehgelenken verbunden. Bewegungen können mit- hilfe von Matrizen gut beschrieben werden. a. Das Grundproblem ist, wie sich ein Punkt am Ende des starren Elements um den Drehpunkt bewegt. Erkläre mithilfe einer Skizze, wie man den gedrehten Punkt A’ erhält, wenn sich ein beliebiger Punkt A um das gegebenen Zentrum Z um einen Winkel α gegen den Uhrzeiger- sinn dreht. b. Ein Punkt (x 1 y) soll um den Punkt (0 1 0) um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden. Gib eine Matrix an, mit der die Koordinaten des gedrehten Punktes berechnet werden können. c. Berechne die Lage des Punktes C = (2 1 3), wenn er um den Punkt Z = (1 1 1) um den Winkel 30° gegen den Uhrzeigersinn gedreht wurde. d. Ein Roboterarm hat 2 Drehgelenke. Das erste ist im Punkt (2 1 0) fix montiert, das zweite befindet sich momentan im Punkt (3 1 0). Die Greifzange des Arms ist fix mit dem zweiten Gelenk verbunden und befindet sich im Punkt (4 1 0). Bestimme, wo sich die Greifzange befindet, wenn sich zunächst das erste Gelenk um 40° gegen den Uhrzeigersinn dreht und dann das zweite Gelenk um 30°. 1353 Der in der menschlichen Lunge vorhandene Sauerstoff in Litern während des Atmens lässt sich durch eine Funktion A mit A(t) = a·sin(b·t + c) + d beschreiben, dabei sind a, b, c und d reelle Zahlen und t die Zeit in Sekunden. a. Finde die Funktion A, wenn zu Beginn der Aufzeichnung das Luftminimum mit 0,8 ® in der Lunge vorhanden ist und nach 2,5s wird das maximale Luftvolumen mit 3,4 ® erreicht wird. b. Für eine Person ist die Funktion B gegeben durch B(t) = 1,35·sin 2 π _ 2 ·t – π _ 2 3 + 2,25.  Zeichne den Graphen der Funktion.  Ermittle aus der Grafik, zu welchen Zeitpunkten t das Lungenvolumen minimal bzw. maximal ist. c. Bestimme das Atemvolumen in Litern nach 4s, wenn das Atemvolumen durch die Funktion C mit C(t) = 1,6·sin 2 π _ 3 ·t – π _ 2 3 + 2,4 gegeben ist. d.   Interpretiere die Bedeutung der Zahlen a, b, c und d in der Funktion A mit A(t) = a·sin(b·t + c) + d, die jedem Zeitpunkt t in Sekunden das Atemvolumen in Litern zuordnet.  Erkläre, wie sich die Zahl b in der Funktion A mit A(t) = 1,6·sin 2 b·t – π _ 2 3 + 2,4 ändern muss, wenn sich die Atemfrequenz verdoppelt. 1354 Ein neues kostenloses App verbreitet sich sehr schnell. Einen Tag nach Erscheinen des Apps haben 1 000 Handynutzer das App geladen, weitere zwei Tage später aber bereits 10000 Handy- nutzer. a. Argumentiere, ob lineares Wachstum, exponentielles Wachstum, beschränktes Wachstum oder logistisches Wachstum zur Beschreibung der Situation geeignet ist. b. Die Anzahl der Handynutzer, die das App laden können, ist 10 Mio. Ermittle die Zahlen a und c, wenn die Verbreitung des Apps der Funktion f mit f(t) = 10000000 __ 1 + c·a t folgt, wobei t die Zeit in Tagen ist und f(t) die Anzahl der Appnutzer beschreibt. c. Die Verbreitung eines Apps wird durch die Funktion c mit c(t) = 10000000 __ 1 + 3000·0,32 t beschrieben, dabei ist t die Zeit in Tagen und c(t) die Anzahl des installierten Apps. Ermittle, wie lange es dauert, bis das App 5 Mio mal installiert wurde. d. Beschränktes Wachstum wird durch Funktionen der Art f mit f(t) = K·(1 – c·a t ) beschrieben, wobei K, c und a positive reelle Zahlen sind mit a < 1 und c < 1.  Erkläre, welche Bedeutung die Zahl K hat.  Beschreibe die Veränderungen des Graphen, wenn a halbiert wird. A, B, D A, B, C, D A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv