Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

356 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung 1349 Die allgemeine Schwingungsgleichung in der Mechanik lautet m· ¨ x(t) + b· ˙ x(t) + k·x(t) = 0. Dabei ist m die Masse, b die Reibungskonstante und k die Federkonstante. a. Schreibe die Schwingungsgleichung für m = 20 kg, b = 15 kg/s und k = 350N/m an, die Anfangsbedingungen sind x(0) = 0,1m und ˙ x(0) = 1,3m/s. b. Löse die Anfangswertaufgabe ¨ x(t) + 5· ˙ x(t) + 6·x(t) = 0 mit x(0) = ‒ 0,5m und ˙ x(0) = 4m/s. c. Die Federkonstante k in der Gleichung ¨ x(t) + 4· ˙ x(t) + k·x(t) = 0 soll so gewählt werden, dass ein Schwingungsfall der Lösung entsteht. Argumentiere, welche Zahlen k dafür in Frage kommen. d. Der Graph der Lösung einer Schwingungsgleichung sieht wie folgt aus:  Lies aus der Grafik die maximale Auslenkung ab.  Beschreibe, wie bei bekannter Funktion f, die der Zeit t in Sekunden die Auslenkung f(t) in Metern zuordnet, die maximale Auslenkung berechnet werden kann. 1350 Eine Kugel mit dem Radius r, dem Volumen V K und der Dichte ή K wird in einer zähen Flüssigkeit mit der Dichte ή F und der dynamische Viskosität h aus der Ruhe heraus frei fallengelassen. Auf die Kugel wirken folgende Kräfte: 1. Die nach unten gerichtete Schwerkraft F G = m·g = ή K ·V K ·g. 2. Die nach oben gerichtete Auftriebskraft F A = ή F ·V K ·g. 3. Die nach oben gerichtete von der Geschwindigkeit v abhängige Stokes’sche Reibungskraft F R = 6 π · η ·r·v. Für die Geschwindigkeit gilt dv _ dt + α ·v = β mit α = 9 η _ 2 ή K ·r 2 und β = g· 2 1 – ή F _ ή K 3 a.   Leite aus m· dv _ dt = F G – F A – F R die angegebene Differentialgleichung für die Geschwindig- keit her.  Löse diese Differentialgleichung für die Anfangsbedingung v(0) = 0m/s und gib die theoretische Endgeschwindigkeit, ausgedrückt durch ή K , ή F , r, g und η , an. b.  Stelle den Geschwindigkeitsverlauf durch den Graphen von v mit v(t) = β _ α · 2 1 – e ‒ α ·t 3 über einem sinnvoll gewählten Intervall dar. Verwende dabei folgende Daten: η = 0,1N·s/m 2 , ή F = 915 kg/m 3 (Olivenöl), ή K = 7874 kg/m 3 (Eisen), r = 0,02m, g = 9,81m/s 2 .  Berechne für diese Daten auch die theoretische Endgeschwindigkeit. Cluster 4 1351 Zur Berechnung von Funktionswerten der Winkelfunktionen oder der Logarithmusfunktionen in der EDV werden entweder Tabellen und Interpolation oder aber Näherungen mithilfe von numerischen Methoden angewandt. a. In einer Tabelle können die Funktionswerte sin(1) = 0,8415 und sin(1,1) = 0,8912 abgelesen werden. Ermittle mithilfe der linearen Interpolation, wie der Funktionswert sin(1,06) genähert werden kann. b. Berechne sin(1,06) mithilfe der linearen Näherung an der Stelle 0 der Funktion f mit f(x) = sin(1 + x). Nimm dazu an, dass sin(1) bereits (näherungsweise) berechnet worden ist. c. Bestimme das dritte Taylorpolynom der Funktion f mit f(x) = sin(1 + x) und berechne so eine Näherung des Funktionswertes sin(1,06). A, B, C, D t[s] s[m] 0 -1 - 2 1 2 10 12 14 16 18 20 8 6 4 2 F G F A F R A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv