Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

354 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung 1342 An einen RLC Serienschwingkreis wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Gleich- spannung der Stärke U 0 angelegt. Die Funktion u C ordnet jeder nicht negativen Zahl die Spannung u C (t) Volt am Kondensator nach t Sekun- den zu. Sie ist Lösung der Differentialgleichung d 2 u C _ dt 2 + R _ L · du C _ dt + 1 _ LC ·u C = 1 _ LC ·U 0 . a. Leite diese Differentialgleichung unter Verwendung von u L = L· di L _ dt und i C = C· du C _ dt her. b.  Erkläre, warum die Bedingung R < 9 __ 4L _ C erfüllt sein muss, damit der Schwingungsfall eintritt.  Überprüfe die Schwingungsbedingung R < 9 __ 4L _ C für die folgenden Angaben: U 0 = 100V, R = 100 Ω , L = 100mH und C = 10 μ F c.  Berechne für den Schwingungsfall die Lösung u C der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingungen u C (0) = 0 und u C ’(0) = 0 erfüllt.  Gib die u C für die Angaben U 0 = 100V, R = 100 Ω , L = 100mH und C = 10 μ F an.  Berechne, mit welcher Frequenz u C hier schwingt.  Zeichne den Graphen von u C über einem sinnvollen Zeitbereich. 1343 Gegeben ist der Vierpol: Für die Beziehung zwischen Eingangs– und Ausgangsspannung gilt: du a _ dt + 1 _ τ ·u a = 1 _ R 1 C ·u e mit τ = R 1 ·R 2 _ R 1 + R 2 ·C a. Leite diese Differentialgleichung unter Verwendung von u L = L· di L _ dt und i C = C· du C _ dt her. b.  Löse die angegebene Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation.  Stelle den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung in einem Diagramm für einen sinn- vollen Zeitbereich dar. Verwende dabei die folgenden Daten: R 1 = 500 Ω , R 2 = 1k Ω , C = 1 μ F c. Berechne die Lösung der gegebenen Differentialgleichung für u e (t) = U 0 für t º 0 nach der klassischen Methode für die Anfangsbedingung u a (0) = 0. Cluster 3 1344 Die Verbreitung einer Krankheit kann in der Verbreitungsphase durch eine Differentialgleichung der Art K’ = m·K – w·K beschrieben werden, wobei K die Anzahl der kranken Personen, m die Kontaktrate und w die Genesungsrate ist. a. Beschreibe die Differentialgleichung in Worten und finde eine sinnvolle Anfangsbedingung. b. Löse die Differentialgleichung für K(0) = 1. c. Überprüfe, wie sich eine Verdopplung der Kontaktrate auf die Lösung der Differential- gleichung auswirkt. 1345 Auf einer Drehmaschine werden Stahlstifte gefertigt. Die Durchmesser der Stifte sind normal- verteilt mit Erwartungswert 8mm und einer Standardabweichung von 0,05mm. a.   Zeichne den Graphen der Dichte und der Verteilungsfunktion.  Vergleiche die Funktionen und erkläre ihre Beziehung zueinander. b. Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Stahlstift einen Durchmesser hat, der größer als 8,1mm ist. c. Bestimme einen symmetrischen Bereich, in dem die Durchmesser von 99% der produzierten Stifte liegen. d. Bei einer Stichprobe werden die Durchmesser von 15 Stahlstiften gemessen und so ein Stich- probenmittelwert ermittelt. Gib an, welche Verteilung dieser Stichprobenmittelwert hat. A, B, D I R = I L = I C C R L u R u L u C U 0 A, B, D u e u a C R 2 R 1 I R 1 I R 2 I C A, B, C A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv