Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

353 8.4 Aufgaben Teil B Cluster 2 1339 Das Wechselstrom-Widerstandsverhalten einer RC Parallelschaltung ist frequenzabhängig. Der komplexe Wechselwiderstand eines Konden- sators ist Z C = 1 _ j ω C . a. Zeige, dass Z ges = R __ 1 + R 2 ω 2 C 2 – j· R 2 · ω ·C __ 1 + R 2 ω 2 C 2 der komplexe Wechselstromwi- derstand dieser Schaltung ist. b. Berechne jene Kreisfrequenz ω 1 , bei der der Imaginärteil von Z ges maximal oder minimal ist. Berechne anschließend Z ges ( ω 1 ) und den Betrag | Z ges ( ω 1 ) | = Z ges ( ω 1 ). c. Stelle den Frequenzgang des Imaginärteils für die Daten R = 100W, C = 5 μ F für einen aus- sagekräftigen und sinnvollen Frequenzbereich in einem Diagramm dar. 1340 An eine stromlose Spule mit der Induktivität L wird über einen ohmschen Widerstand R eine sinusförmige Wechselspannung mit der Amplitude U 0 und der Kreisfrequenz ω angelegt. Für den Spu- lenstrom i gilt in dieser Schaltung die Differentialgleichung di _ dt + R _ L ·i = U 0 _ L ·sin( ω t). a. Leite die angegebene Differentialgleichung her. Verwende dazu u L = L· di L _ dt . b. Zeige, dass die Funktion i mit i(t) = K·e – R _ L ·t + U 0 __ R 2 + ( ω L) 2 ·[R·sin( ω t) – ω L·cos( ω t)] eine Lösung der angegebenen Differentialgleichung ist. Dabei ist K eine beliebig wählbare reelle Zahl. c. Löse diese Differentialgleichung für die Anfangsbedingung i L (0) = 0. d.  Berechne aus der Funktion i mit i(t) = U 0 __ R 2 + ( ω L) 2 ·[ ω L·e ‒ R _ L ·t + R·sin( ω t) – ω L]·cos( ω t) die Spulenspannung u L = L· di _ dt .  Stelle den Spannungsverlauf durch den Graphen von u L über einem sinnvoll gewählten Intervall für die folgenden Daten dar: R = 2 Ω , L = 100mH, U 0 = 100V, ω = 20 s ‒1 1341 An einen spannungslosen Kondensator mit der Kapazität C wird über einen Ohmschen Widerstand R ab dem Zeitpunkt t = 0 eine sinusförmige Wechselspannung mit der Amplitude U 0 und der Kreisfrequenz ω angelegt. Die Funktion u C ordnet jeder nicht negativen Zahl t die Spannung u C (t) zu. Diese Funktion ist Lösung der Differentialgleichung du C _ dt + 1 _ RC ·u C = U 0 ·sin( ω t) __ RC . a. Leite die angegebene Differentialgleichung her. Verwende dazu i C = C· du C _ dt . b. Zeige, dass die Funktion u C mit u C (t) = K·e ‒ 1 _ RC ·t + U 0 · 1 __ 1 + 2 R ω C 3 2 · 4 sin( ω t) – ω RC·cos( ω t) 5 eine Lösung der angegebenen Differentialgleichung ist. Dabei ist K eine beliebig wählbare reelle Zahl. c.  Löse diese Differentialgleichung für die Anfangsbedingung u C (0) = 0.  Schreibe u C als Summe eines „flüchtigen“ und einen „stationären“ Anteils. d. Stelle den Spannungsverlauf durch den Graphen von u c über einem sinnvoll gewählten Intervall für die folgenden Daten dar: R = 50 k Ω , C = 50mF, U 0 = 100V, ω = 20 s ‒1 B, D C R A, B, D U 0 ∙ sin( ċ t) L R t = 0 A, B, C, D U 0 ∙ sin( ċ t) R t = 0 C Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv