Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

352 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung 1337 Die Geschwindigkeit eines PKW wird beobachtet. a. Die Geschwindigkeit v des PKW in m/s wird durch die Funktion v mit v(t) = 40 – 40·e ‒ t _ 10 beschrieben.  Bestimme die mittlere Geschwindigkeit des PKW innerhalb der ersten Minute.  Finde eine Funktion, die die Beschleunigung des PKW nach t Sekunden Fahrzeit angibt.  Zeichne den Graphen der Funktion und untersuche den Verlauf der Beschleunigung des PKW. b. Die Beschleunigung nach t Sekunden eines anderen Fahrzeugs während seiner Fahrt von 0 bis 30 s wird durch die Funktion a mit a(t) = 0,001t 2 – 0,04t + 5 beschrieben.  Bestimme, wann die Beschleunigung minimal ist.  Begründe, warum nur ein Zeitpunkt existiert, an dem die Beschleunigung minimal ist. c. Die Geschwindigkeiten im m/s von zwei unterschiedlichen Fahrzeugen A und B werden während 30 Sekunden aufgezeichnet und sind in einem Diagramm dargestellt: Erkläre im Zusammenhang mit dem Diagramm die Bedeutung von x, wenn gilt : 0 x v A (t)dt = : 0 x v B (t)dt. 1338 Die Vermessung von Gebäudehöhen erfolgt oft mithilfe der Trigonometrie. a. Die Höhe eines Hochhauses soll vermessen werden. Als Höhe des Hochhauses betrachten wir den Abstand der Antennenspitze (der höchste Punkt) S zu dem lotrecht darunter liegenden Punkt C auf der Grundebene. Auf dieser Ebene wählen wir zwei Punkte A und B so, dass die Punkte B, A und C auf einer Geraden liegen. Wir bestimmen dann den Abstand a in Meter zwischen A und B, sowie die Winkel α bei A im Dreieck A, C, S und β bei B im Dreieck B, C, S.  Gib an, wie man aus a, α und β die Höhe des Hochhauses berechnet.  Berechne dann diese Höhe für a = 100, α = 44,41° und β = 55°. b. Zum Schätzen der Baumhöhe eines Einzel- baumes wird von der Landwirtschaftskam- mer Niederösterreich folgende Methode beschrieben: Ein 3m langer Stab wird an den Stamm des Baumes gestellt, dann wird ein Lineal mit 40 cm Länge lotrecht so in Position gebracht, dass die 0 und die 3 cm Markie- rung des Lineals in Sichtlinie mit dem Stab am Baum sind. Blickt man dann (ohne den Kopf zu bewegen) zum Baumwipfel empor, kann man an der Markierung des Lineals in cm die Baumhöhe in Metern ablesen.  Erkläre, wieso diese Methode funktioniert.  Berechne, wie groß der Fehler bei der Bestimmung der Baumhöhe ist, wenn auf dem Lineal nur auf 2mm genau abgelesen werden kann. A, B, C, D 0 10 20 30 40 25 30 20 15 10 5 0 t[ s ] v[ m/s ] A B A, B, C, D H A Stab h a Ablesung Marke Marke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv