Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

351 8.4 Aufgaben Teil B Cluster 1b (Alle Aufgaben sind auch für Cluster 1a geeignet.) 1334 Ein Unternehmen, das Industrietextilien herstellt, möchte seine Kosten- und Ertragssituation sowie seine Gewinnmöglichkeiten analysieren. a. Bestimme eine Kostenfunktion K mit K(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, wenn der Betrieb Fixkosten von 240GE hat. Weiters belaufen sich die Kosten bei einer Produktion von 50ME auf 520GE, bei einer Produktion von 100ME auf 780GE und bei 125ME auf 1100GE. b. Die Kostenfunktion ist gegeben durch K mit K(x) = 0,0456x 2 + 2,9467x + 240. Die Erlösfunktion E des Unternehmens ist gegeben durch E(x) = x·p(x), wobei die Funktion p mit p(x) = 40 – 0,002x 2 den Preis pro Mengeneinheit x angibt. Die Gewinnfunktion G ist gegeben durch G(x) = E(x) – K(x).  Bestimme Erlös- und Gewinnfunktion.  Zeichne die Graphen der Erlös- und Gewinnfunktion in ein gemeinsames Diagramm. c.   Bestimme für die Gewinnfunktion G mit G(x) = 0,32x 2 – 0,003x 3 – 100 das Gewinn- maximum.  Argumentiere, warum in diesem Fall nur ein Gewinnmaximum existiert. 1335 Eine Grafikagentur hat für einen Kunden ein Logo entwickelt. a.   Bestimme geeignete Funktionen, deren Graphen den Rand des Logos annähernd beschreiben. Dokumentiere die Vorgehens- weise. b.   Ermittle die Fläche des Logos.  Der Kunde verlangt eine Anpassung des Logos. Die Breite soll größer werden bei gleichbleibenden Höhen. Argumentiere, wie sich durch diese Anpassung die Größe der Fläche ändert. c. Für den Zuschnitt des Logos wird dieses an der x-Achse gespiegelt und so jeweils zwei Logos gemeinsam ausgeschnitten.  Untersuche, entlang des Graphen welcher Funktion für das unte- re Logo geschnitten werden muss, wenn die obere Linie der Graph der Funktion f mit f(x) = 6 – 1 _ 2 x 2 ist.  Berechne den Materialbedarf für das Zuschneiden von diesen beiden Logos. 1336 Die Lackdicke von Werkstücken, die in einer automatisierten Lackierstraße lackiert wurden, ist normalverteilt. a. Die Lackdicke von Designheckspoilern hat den Erwartungswert 75 μ m und eine Standardab- weichung von 5 μ m. Zeichne den Graphen der Dichtefunktion der entsprechenden Normal- verteilung. b. Die Lackdicke von Werkstücken ist normalverteilt mit μ = 95 μ m und σ = 7mm.  Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Lackdicke eines Werkstückes unter 80mm liegt.  Stelle die berechnete Wahrscheinlichkeit mithilfe einer Skizze dar. c. Für Werkstücke der Produktionsstraße A ist das 10%-Fraktil der Lackdicke 80 μ m, für Werkstü- cke der Produktionsstraße B ist das 10%-Fraktil 90 μ m. Beide Produktionsstraßen arbeiten mit der gleichen Standardabweichung von σ = 7mm. Untersuche, wie sich die Erwartungswerte der beiden Produktionsstraßen zueinander verhalten. d. Bei einer Prüfung wird an einer Stichprobe von 7 Probestücken die Lackdicke gemessen. Eine vorab durchgeführte Untersuchung hat für die Lackdicke eine Normalverteilung mit Mittelwert 99 μ m und einer Standardabweichung von 6 μ m ergeben.  Gib an, welcher Verteilung der Mittelwert der Stichprobe unterliegt.  Gib ein um den Mittelwert symmetrisches Intervall an, in dem der Mittelwert der Stichprobe mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt. A, B, D A, B, C, D x y 0 - 2 2 2 4 6 8 A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv