Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

350 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung 1332 Eine Badeplattform hat die Form eines Rechtecks, mit vier angefügten Halbkreisen. a. Der Abschluss des Randes erfolgt mithilfe eines Edelstahl- blechs. Ermittle die optimalen Abmessungen der Plattform, unter der Voraussetzung, dass die Plattform eine möglichst große Fläche haben soll, aber nur 30m Edelstahleinfassung nötig sind. b. Die Badeplattform wird mit Teakholz gedeckt, das Nässe gut standhält. Um die Härte und damit die Widerstandsfähigkeit von Teak gegen Belastungen einzuschätzen wird die Brinell- härte angegeben. Diese Härtebestimmung erfolgt durch das Eindrücken einer Stahlkugel mit einem Durchmesser von D = 10mm mit einer Kraft F in das Holz. Der Durchmesser d des so entstandenen kreisförmigen Eindrucks wird vermessen und damit die Eindrucktiefe h ermittelt. Gib an, wie die Eindrucktiefe h ermittelt wird, wenn D und d bekannt sind. (siehe Skizze) c. Für Teakholz wird eine Brinellhärte von H B = 62N/mm 2 ange- geben.  Berechne die Eindrucktiefe h für eine Kraft von F = 750N, wenn die Brinellhärte durch H B = F _ A gegeben ist. Beachte, dass die entstehende Fläche eine Kugelkalotte ist, deren Oberfläche mithilfe er Formel A = D· π ·h berechnet werden kann.  Untersuche, wie sich die Eindrucktiefe bei konstantem Kugeldurchmesser D und Kraft F bei wachsender Härte H B verhält. Argumentiere mithilfe eines Diagramms. 1333 In der Forstwirtschaft spielt bei der Bewertung des Holzbestandes die Ermittlung von Höhe und Volumen eines Baumes eine zentrale Rolle. In der Fachliteratur findet sich für ein spezielles Gebiet und eine spezielle Holzart eine Formel h = 9·e 0,03BHD + 1,3, dabei ist h die Baumhöhe in Metern und BHD der Brusthöhendurchmesser im cm (Stammdurchmesser, der in einer Höhe von 1,30m gemessen wird). a. Stelle diesen Zusammenhang für Brusthöhendurchmesser von 10 cm bis 50 cm graphisch dar. b. Gib eine Formel an, mit der das Volumen eines Baumstammes bei bekannter Stammlänge und BHD näherungsweise berechnet werden kann. Nimm dafür eine zylindrische Form des Stammes an, und korrigiere die Abweichung davon mit einem Faktor von 0,5. c. Das Höhenwachstum eines Baumes verläuft über die Zeit nicht linear, sondern wird nähe- rungsweise durch die Funktion h mit h(t) = 0,00002t 3 – 0,0075t 2 + 1,0489t – 9,56 beschrieben, dabei ist t die Zeit in Jahren und h(t) die Höhe des Baums in Metern.  Bestimme die durchschnittliche Wachstumsrate pro Jahr zwischen 20 und 40 Jahren und vergleiche diese mit den momentanen Wachstumsraten bei 20 und bei 40 Jahren.  Interpretiere die Ergebnisse. d. Die momentane Wachstumsrate eines Baumes wird durch die Funktion w mit w(t) = 0,0001t 2 – 0,012t + 1,05 beschrieben, dabei ist t die Zeit in Jahren und w(t) die Wachs- tumsrate in m/Jahr.  Zeichne den Graphen der Funktion w im Bereich [0 Jahre; 50 Jahre].  Interpretiere den Verlauf der Funktion im Zusammenhang mit der Höhe des Baumes und erkläre die Bedeutung des Integrals : 15 35 w(t)dt. A, B, C a b d h 10mm M A, B, C, D Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv