Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

349 8.4 Aufgaben Teil B 1329 Eine Wohnbaugesellschaft gibt eine Studie in Auftrag, die die optimale Nutzbarkeit verschiede- ner Dachausbauvarianten im städtischen Bereich untersuchen soll. a.   Zunächst wird die Dachform Satteldach untersucht. Der Dachausbau soll so erfolgen, dass die entstehende Raumquer- schnittsfläche rechteckig ist (siehe Skizze). Ermittle die Ausbaumaße so, dass die Raumquerschnittsfläche maximal wird.  Dann wird ein parabelförmiges Dach untersucht. Auch hier soll der Dachausbau so erfolgen, dass eine rechteckige Raumquer- schnittsfläche maximal sein soll. Gib das Verhältnis zwischen Raumbreite und Raumhöhe an.  Argumentiere, welche der beiden Ausbauformen die größere Raumquerschnittsfläche ergibt. b. Das Verhältnis zwischen Breite und Höhe des Ausbaus bei einem Satteldach mit einer Breite von b und einer Höhe von h beträgt 1 _ 2 b : 1 _ 2 h. Untersuche, wie sich die Raumquerschnittsfläche verändert, wenn die Breite des Daches bei unveränderter Höhe verdoppelt wird. 1330 Die Biegefestigkeit von Holz ist normalverteilt. a. Der Erwartungswert der Biegefestigkeit von Lärche beträgt 99N/mm 2 , der Variations- koeffizient beträgt 17,1%. Berechne die Standardabweichung und zeichne die Dichtefunktion in einem geeigneten Intervall. b. Die Biegefestigkeit von Fichte ist normalverteilt mit μ = 95N/mm 2 und σ = 13,49N/mm 2 . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Biegefestigkeitswert unter 90N/mm 2 liegt. Stelle diese Wahrscheinlichkeit mithilfe einer Skizze dar. c. Eine für die Bemessung relevante Größe ist das 5%-Fraktil. Das 5%-Fraktil einer Holzart A beträgt 68N/mm 2 , das von einer zweiten Holzart B beträgt 65N/mm 2 . Beide Biegefestigkei- ten haben annähernd die gleiche Standardabweichung. Untersuche wie sich die Erwartungs- werte der Biegefestigkeiten zueinander verhalten müssen. d. Bei einer Prüfung wird mit einer Stichprobe von 5 Stück die Biegefestigkeit überprüft. Laut Norm liegt eine Normalverteilung der Biegefestigkeit mit Erwartungswert 80N/mm 2 und Standardabweichung 14N/mm 2 vor.  Gib an, welcher Verteilung der Mittelwert der Stichprobe unterliegt.  Berechne ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall, indem der Mittelwert der Stichprobe mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt. 1331 Bei einer Druckfestigkeitsprüfung an einer Holzprobe wurde ein Diagramm aufgezeichnet. a. Folgende Punkte des Verlaufs können aus dem Diagramm abgelesen werden: P 1 = (0,2 1 330), P 2 = (0,6 1 1 240), P 3 = (0,9 1 1700), P 4 = (1,4 1 1 880) und P 5 = (1,8 1 1 940). Finde geeignete Funktionen, um den Verlauf der Druckfestigkeits- prüfung näherungsweise darzustellen und dokumentiere die Vorgehensweise. b. Der Bereich der Prüfung, in dem sich Kraft und Verformung proportional verhalten, nennt man den elastischen Bereich. Kennzeichne den Bereich im Diagramm. c.   Ein Maß für die Druckfestigkeit ist die erweiterte Proportionalitätsgrenze. Die dieser Gren- ze entsprechende Kraft F Dp wird bestimmt, indem jener Punkt des Verlaufs der Prüfung ermittelt wird, wo die Steigung der Tangente 2 _ 3 der Steigung des elastischen Bereichs beträgt. Ermittle die Kraft F Dp , wenn der Verlauf der Prüfung durch die Funktionen g mit g(x) = 2300x – 100 und p mit p(x) = ‒1 450x 2 + 3800x – 470 gegeben ist.  Argumentiere, warum nicht bei jedem Verlauf einer Druckfestigkeitsprüfung eine Kraft F Dp und somit auch keine erweiterte Proportionalitätsgrenze bestimmt werden kann. A, B, C, D h b h b A, B, C A, B, C, D Stauchung [mm] Kraft [N] 0,5 0 1 1,5 2,5 2 0 1000 500 1500 2000 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv