Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

343 8.3 Aufgaben Teil A 1316 Nach dem Gravitationsgesetz verhält sich die Gravitationskraft F in Newton, die durch die Gravi- tation auf einen Körper mit der Masse m 1 kg wirkt, direkt proportional zu seiner eigenen Masse und ebenso direkt proportional zur Masse m 2 kg des ihn anziehenden Körpers. Weiters ist die Kraft F indirekt proportional dem Quadrat des Abstands R der beiden Körper zu einander. a. Berechne, um wie viel Prozent man die Entfernung der beiden Körper verändern muss, damit die Gravitationskraft um das 3,5-Fache erhöht wird. Dokumentiere den Lösungsansatz und gib an, ob es sich um eine Erhöhung oder eine Verringerung der Entfernung handelt. b.   Untersuche, welche der drei Graphen die Funktion darstellt, die jedem Abstand R die Gravitations- kraft (mit gleichbleibenden Massen m 1 und m 2 ) deren Abstand R ist, zuordnet.  Begründe, warum die beiden anderen Funktionsgraphen nicht richtig sein können.  Für welche der drei Funktionen stimmt die mitt- lere Änderungsrate immer mit dem Differential- quotient überein? Begründe. 1317 Für die Wasserspiele vor dem Bellagio Hotel in Las Vegas werden unter anderem bewegliche Wasserdüsen eingesetzt. Je nach Anstellwinkel erreicht der Wasserstrahl bei gleichbleibender Austrittsgeschwindigkeit unterschiedliche Höhen und Weiten. Der Verlauf des Wasserstrahls kann durch die Funktion f mit f(x) = tan( α )·x – 9,81 __ 2·v 0 ·cos( α ) 2 ·x 2 beschrieben werden, dabei ist x die horizontale Entfernung zum Austrittspunkt des Wassers in Meter, v 0 die Austrittsgeschwindkeit in m/s und α der Anstellwinkel. a.   Gib die Funktion f für α = 30° und v 0 = 300 km/h an und zeichne den Graphen der Funktion.  Berechne für f, in welcher Entfernung der Wasserstrahl wieder auf die Wasseroberfläche trifft. b.   Zeichne ein Diagramm, das die Wasserstrahlen bei Anstellwinkeln von 30°, 70° und 45° bei gleichbleibender Austrittsgeschwindigkeit des Wassers von v 0 = 300 km/h darstellt.  Lies aus dem Diagramm die ungefähren Höhen und Reichweiten der Wasserstrahlen ab.  Interpretiere und fasse zusammen, wie sich die Höhe und die Reichweite der Strahlen verändern, wenn der Austrittswinkel verändert wird. 1318 Eine beliebte flache Radrunde führt durch den Seewinkel und ist 40 km lang. a. Die beiden Funktionsgraphen zeigen Weg-Zeit- Diagramme von zwei Radfahrern R 1 und R 2 auf die- ser Radrunde.  Interpretiere die beiden Graphen im Bezug auf die Fahrzeit und die Durchschnitts- geschwindigkeit der beiden Radfahrer.  Ermittle die Durchschnittsgeschwindigkeit für R 1 und R 2 , wenn diese keine Pause machen. b. Die beiden Radfahrer begeben sich an einem anderen Tag gleichzeitig wieder auf die gleiche Radrunde, diesmal allerdings in entgegengesetzter Richtung. R 1 fährt an diesem Tag mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 22 km/h, R 2 mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 28 km/h. Beide machen diesmal keine Pause. Berechne, wie viele km R 1 zurückgelegt hat, bis er auf der Strecke R 2 trifft. A, B, C, D 0 5 ∙ 10 21 1 ∙ 10 22 1,5 ∙ 10 22 250 300 200 150 100 50 0 R[Mio m] F[N] a b c A, B, C A, B, C 0 10 20 30 40 100 120 80 60 40 20 0 t[min] s[km] R 2 R 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv