Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

336 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung B4_5.7 die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung erklären und zur Modellierung verwenden 1294 Aus Erfahrung weiß man, dass bei der Produktion eines bestimmten Mikrochips 15% fehlerhaft sind. Diese fehlerhaften Mikrochips werden als „Ausschuss“ bezeichnet. a. Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der fehlerhaften Mikrochips in einer Stichprobe von 250 Stück. Begründe, warum X binomialverteilt ist. b. Zeige durch Nachrechnen, dass der Erwartungswert für die Anzahl der fehlerhaften Mikro- chips in einer Stichprobe von 250 Stück bei μ = 37,5 und die Standardabweichung bei σ ≈ 5,65 liegt. c. Gib an, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um die Binomialverteilung durch die Normalverteilung zu approximieren. Zeige, dass diese Voraussetzungen für X erfüllt sind. d. Berechne mithilfe der Normalverteilung näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Stichprobe von 250 Stück höchstens 30 Stück Ausschuss sind. e. Berechne mithilfe der Normalverteilung näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Stichprobe von 250 Stück die Anzahl der fehlerhaften Mikrochips mindestens 30 und höchstens 40 Stück beträgt. B5_5.7 Entscheidungsalternativen in Form von Hypothesen formulieren und das Prinzip des Alternativtests wiedergeben, signifikante und nicht signifikante Testergebnisse interpretieren 1295 Eine große Lieferung von elektronischen Bauteilen, die entweder intakt oder defekt sein können, wird bei der Übernahme geprüft, um zu entscheiden ob sie angenommen oder zurückgeschickt wird. Dazu wird eine Stichprobe vom Umfang 30 entnommen und die Anzahl d der defekten Stü- cke festgestellt. Der Lieferant gibt den Ausschussanteil p der Lieferung mit 4% an. Der Käufer hat aber die vertrauliche Information erhalten, dass dieser Anteil 10% beträgt. a. Stelle die Hypothesen für dieses Testproblem auf. b. Formuliere eine Testvorschrift so, dass eine gute Lieferung nur mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner 0,05 zurückgeschickt wird. c. Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei diesem Test eine schlechte Lieferung ange- nommen wird. 1296 Ein Politiker möchte bei der Abstimmung über 2 Alternativvorschläge A und B für jenen stim- men, der eine Mehrheit in der Bevölkerung hat. Er befragt dazu 201 Personen und entscheidet sich für den Vorschlag, der eine Mehrheit in dieser Gruppe besitzt. a. Formuliere die Hypothesen und die Testvorschrift für seine Strategie (p A sei dabei der Anteil der Befürworter von A in der Gesamtbevölkerung). b. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung, wenn p A = 0,45 ist. B2_5.7/B5_5.8 berechnen einer signifikanten Abweichung eines Mittelwertes einer Stichprobe von einem vorgegebenen Wert anhand des Einstichproben-u-Tests und des Einstichproben-t- Tests 1297 Ein Betrieb produziert Schrauben. Die Solllänge von 35mm soll mithilfe einer Stichprobe geprüft werden. Dafür wird eine Stichprobe von 15 Nägeln eingesetzt. Die Stichprobe ergab einen Mittel- wert von 34,8mm. Aus Erfahrung ist bekannt, dass die Länge der Schrauben normalverteilt mit einer Standardabweichung von 0,1mm ist. a. Formuliere die Nullhypothese und die Gegenhypothese für einen zweiseitigen u-Test. b. Prüfe mit einer Sicherheit von 99%, ob die Länge der Schrauben der Solllänge entspricht. B, D A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv