Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

332 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung 1280 Unter idealen Bedingungen ist zur Zeit t (in Stunden) die momentane Änderungsrate g’(t) zur Anzahl g(t) von Bakterien proportional. Zur Zeit 0h gibt es 1 000 Bakterien. a. Begründe, warum diese Funktion g die Lösung der Anfangswertaufgabe y’ = ky mit y(0) = 1 000 ist, wobei k eine geeignete positive Zahl ist. b. Berechne die Lösung dieser Differentialgleichung. c. Nach zwei Stunden hat sich die Anzahl der Bakterien verdoppelt. Berechne die Anzahl der Bakterien nach 24h. B4_4.10 mit dem Newtonschen Näherungsverfahren Nullstellen einer Funktion numerisch berechnen; das Verfahren graphisch erklären; die Problematik der Startwerte argumentieren und beliebig viele Näherungswerte mit Technologie angeben 1281 Betrachte die Funktion f mit f(x) = cos(2x) – x. a. Bestimme die Nullstellen der Funktion. b. Berechne die Extremstellen der Funktion im Intervall [0; π ]. c. Erkläre, warum die Nullstellensuche für die Funktion f mithilfe des Newtonschen Näherungs- verfahrens für den Startwert x 0 = 7 _ 12 · π zu keiner Lösung führt. d. Gib einen Startwert x 0 an, für den das Newtonsche Näherungsverfahren möglichst schnell zu einer Nullstelle führt. Begründe. B4_4.11 mit numerischen Integrationsverfahren Integrale mit Technologie berechnen; Näherungswerte für die Fläche durch Ober- und Untersummen berechnen und erklären 1282 Herr Maier bietet ein Grundstück zum Verkauf an, das von einem Entwässerungsgraben begrenzt wird. Dieser verläuft wie der Graph der Funktion f mit f(x) = 100 – 0,01x 2 . Die beiden anderen Grundstückseiten werden jeweils von einer geradlinigen Straße und einem geradlinigen Weg begrenzt. a. Berechne die Fläche des Grundstücks mithilfe der Ober- summe durch Teilung in 10 gleich breite Streifen. b. Ermittle die Fläche des Grundstücks mithilfe der Unter- summe durch Teilung in 10 gleich breite Streifen. c. Begründe, welches der Ergebnisse aus Aufgabe a. und b. Herr Maier für die Berechnung der Grundstücksgröße heran- ziehen wird und welches ein Käufer. d. Argumentiere, wie eine faire Berechnung der Grundstücksgröße für Verkäufer und Käufer aussehen kann. B5_4.8 Differentialgleichungen 1. Ordnung im fachtheoretischen Kontext aufstellen und lösen und die erhaltene Lösung im Kontext interpretieren und argumentieren 1283 Wir nehmen an, dass ein Flüssigkeitstropfen, der sich auf einer horizontalen Glasscheibe befin- det, die Form einer Halbkugel besitzt. Wir nehmen an, dass die momentane Änderungsrate des Volumens des Tropfens zur Zeit t (in Stunden) proportional zur Oberfläche ist. Zu Beginn der Beobachtung beträgt der Tropfenradius 1mm, nach 2 Stunden nur mehr 0,6mm. a. Mit r(t) bezeichnen wir den Radius des Tropfens zur Zeit t. Erstelle eine Differentialgleichung, deren Lösung die Funktion r ist. b. Berechne, nach welcher Zeit der Tropfen vollständig verdunstet ist. c. Berechne, nach welcher Zeit (in h und min) sich das Anfangsvolumen halbiert hat. A, B, D B, C, D A, B, D Straße Weg 20 0 40 60 100 80 0 40 20 60 100 80 A, B Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv