Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

331 8.2 Kompetenztraining für den Teil B B2_4.12 die Grundidee der Anwendung der Laplace-Transformation bei linearen Differential- gleichungen erläutern und deren Verwendung in der Elektrotechnik begründen. 1276 Wir betrachten ein LTI-System mit (zeitabhängigem) Eingangssignal x, Impulsantwort h und Systemantwort y. Deren Laplace-Transformierte bezeichnen wir mit X, H und Y. Dann ist Y = H·X. Es ist H die Funktion mit H(s) = 1 __ s 2 + 10s + 29 und X die Funktion mit X(s) = 130 _ s 2 + 9 . a. Berechne die Funktion h und zeichne ihren Graphen. b. Berechne die Funktion y und zeichne ihren Graphen. B2_4.13 die Laplace-Transformation praxisrelevanter Funktionen mithilfe einer Transformations- tabelle oder mithilfe von Software durchführen (inklusive Rücktransformation) 1277 Die Übertragungsfunktion eines LTI-Systems ist H mit H(s) = 2s + 5 __ s 2 + 6s + 153 . Diese Funktion ist die Laplace-Transformierte der Impulsantwort h des Systems. a. Berechne die zugehörige Impulsantwort h des Systems. b. Zeichne den Graphen von h über einen sinnvoll gewählten Intervall. B2_4.14 elektrische Netzwerke (RL, RC, RLC) im Laplace-Bildbereich untersuchen: Aufstellen von Übertragungsfunktionen, Ermitteln des Zeitverhaltens durch inverse Laplace-Transformation und das Ergebnis interpretieren 1278 a. Leite die Übertragungsfunktion H des aufgezeichneten Vierpols her. H ist die Laplace-Transformierte der Impulsantwort h. b. Berechne die Impulsantwort des Vierpols für den Fall, dass die Bauteile R, L und C so gewählt sind, dass der Fall I. der starken Dämpfung, II. der Dämpfung, III. der Schwingungsfall eintritt. Welche Bedingung müssen die Bauteile in dem jeweiligen Fall erfüllen? c. Zeichne jeweils den Graphen von der Impulsantwort h über einem sinnvoll gewählten Intervall. d. Untersuche, was im Fall III. passiert, wenn R gegen unendlich geht. B4_4.8 in Natur und Technik auftretende Änderungsraten mit dem Differentialquotienten beschreiben und erklären; Differentialgleichungen des Typs dy _ dx = k·y bzw. dy _ dx = k·(y – r) mit Trennen der Variablen lösen; Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum und beschrank- tem Wachstum anhand der Differentialgleichung erklären und interpretieren 1279 Die Temperatur einer Flasche Milch beträgt im Kühlschrank 5° C. Die Temperatur in der Küche beträgt 20 °C. Nachdem die Milch aus dem Kühlschrank genommen wird, erhöht sich ihre Temperatur. Dabei nehmen wir an, dass die momentane Änderungsrate der Temperatur proportional zur Differenz der Temperatur und der Temperatur in der Küche ist. Wir bezeichnen mit f(t) die Temperatur der Milch in °C, t Minuten nachdem sie aus dem Kühlschrank genommen wurde. a. Begründe, warum diese Funktion f die Lösung der Anfangswertaufgabe y’ = k(20 – y) mit y(0) = 5 ist, wobei k eine geeignete positive Zahl ist. b. Berechne die Lösung dieser Differentialgleichung. c. Nach einer Minute hat sich die Temperatur der Milch um 2 °C erhöht. Berechne die Temperatur der Milch nach 10 Minuten. A, B B u e u a C R L A, B, C A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv