Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

330 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung 1273 An den aufgezeichneten passiven Vierpol wird ab dem Zeit- punkt t = 0s eingangsseitig eine Gleichspannung der Stärke u e angelegt, das heißt u e (t) = U 0 für t º 0. a. Ermittle mithilfe des physikalischen Zusammenhangs u L = L di L _ dt eine Differentialgleichung, deren Lösung der Spulenstrom i L ist. b. Berechne alle Lösungen dieser Differentialgleichung. c. Ermittle die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangsbedingung i L (0) = I 0 . d. Berechne mithilfe der Formel aus Aufgabe a. und den zeitlichen Verlauf der Ausgangs- spannung u a . Dabei soll die Anfangsbedingung (i L (0) = 0) berücksichtigt werden. e. Stelle den in Aufgabe d. berechneten zeitlichen Verlauf in einem Diagramm für einen sinn- vollen Zeitbereich dar. Wähle dafür R 1 = 1,2k Ω , R 2 = 2,4k Ω , L = 1mH, U 0 = 100V. f. Erkläre den Verlauf von u a (Sprungantwort des Vierpols) aus elektrotechnischer Sicht. B2_4.11 Schwingungsgleichungen (lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten) im fachtheoretischen Kontext (RLC-Serienschwingkreis) aufstellen und lösen: homogene und inhomogene Gleichung unterscheiden, allgemeine und partikulare Lösung bestimmen, die Lösungsteile und die Lösung darstellen und interpretieren; die Lösungsfälle der Schwingungsgleichung unterscheiden und interpretieren, insbesondere auch im Vergleich mit dem aperiodischen Grenzfall 1274 Bis zum Zeitpunkt t = 0s ist an einem Serienschwingkreis eine Gleichspannung der Stärke U 0 angelegt. Ab diesem Zeitpunkt wird der Schalter laut Zeichnung umgelegt und damit der Schwingkreis kurzgeschlossen. a. Leite aus den physikalischen Zusammenhängen i = C· du C _ dt und u L = L di L _ dt die für t º 0 gültige Differentialgleichung d 2 u C _ dt 2 + R _ L · du C _ dt + 1 _ LC ·u C = 0 her. b. Gib die Bedingung an, die die Bauteile R, L und C für den Schwingungsfall erfüllen müssen. c. Berechne die allgemeine Lösung für u C für den Schwingungsfall. d. Berechne die Lösung für die Anfangsbedingungen u C (0) = U 0 und u ’ C (0) = 0. e. Stelle den Graphen von u C über einem Intervall von positiven reellen Zahlen, das etwa 5 Perioden der Funktion enthält, dar. Wähle dafür U 0 = 100V, R = 50 Ω , L = 500mH, C = 10 μ F. B3_4.8 lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten im fachtheoretischen Kontext aufstellen und lösen und die erhaltene Lösung im Kontext interpretieren und argumentieren 1275 Bedingt durch äußere Bedingungen kann eine Zellpopulation auf höchstens n 1 Zellen anwachsen. Die Funktion n ordnet jedem Zeitpunkt t die Anzahl der Zellen zur Zeit t zu. Die Wachstumsgeschwindigkeit zur Zeit t der Zellpopulation n’(t) ist proportional zum Produkt n(t)·(n(t) – n 1 ). a. Beschreibe n als Lösung einer Differentialgleichung. b. Berechne eine Lösung n mit n(0) = n 0 . c. Berechne den Proportionalitätsfaktor aus der Differentialgleichung, wenn man weiß, dass n(1) = 0,9n 0 gilt. A, B, D u a u e R 2 L R 1 A, B, D t = 0 I R = I L = I C C R L u R u L u C U 0 A, B Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv