Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

33 1.3 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume 137 Bei einem Spiel muss zunächst die Reihenfolge, in der die vier Mitspieler beginnen, festgelegt werden. Dazu würfelt man mit einem „Ikosaeder“. Dieser besitz 20 Seitenflächen, die mit den Zahlen 1 bis 20 nummeriert sind. Jede dieser Zahlen ist dabei gleich wahrscheinlich. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei von den 4 Mitspielern mindestens 2 die gleiche Zahl würfeln. 138 Zu seinem 19. Geburtsgag hat Hannes 19 Gäste eingeladen. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den nun 20 anwesenden Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der 19 Gäste am selben Tag Geburts- tag hat wie Hannes. 139 a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben. b. Berechne diese Wahrscheinlichkeit für n = 1, 2, 3, …, 50 und stelle das Ergebnis sowohl in einer Tabelle, als auch in einem Diagramm dar. c. Ermittle, ab wie vielen Personen die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, erstmals größer als 90% ist. 140 Beim österreichischen Lotto „6 aus 45“ müssen 6 Zahlen von 1 bis 45 angekreuzt werden. In der darauf folgenden Ziehung werden die 6 Gewinnzahlen ermittelt: die sogenannten 6 „Richtigen“. Außerdem wird noch die „Zusatzzahl“ gezogen. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei „6 aus 45“ einen Dreier mit Zusatzzahl zu erzielen. b. Gib diese Wahrscheinlichkeit auch in der Form 1 : 1 _ p an und interpretiere diese Zahl. a. Da man beim Ausfüllen des Lottoscheins 6 von 45 möglichen Zahlen ankreuzen muss, ist die Anzahl der möglichen Ausgänge (richtig ausgefüllte Lottoscheine) m = 2 45 6 3 = 8145060. Die weiteren Berechnungen werden leichter, wenn man sich vorstellt, dass die anfangs 45 gleichberechtigten Zahlen durch die Ziehung in 6 „Richtige“, 38 „Falsche“ und 1 Zusatzzahl aufgeteilt werden. Um einen Dreier mit Zusatzzahl zu erzielen, müssen wir folgendes angekreuzt haben: „3 von 6 Richtigen“ und „2 von 38 Falschen“ und „1 von 1 Zusatzzahlen“ Also ist die Anzahl der günstigen Fälle g = 2 6 3 3 · 2 38 2 3 · 2 1 1 3 = 14060. P(„Dreier mit Zusatzzahl“) = g _ m = 14060 __ 8145060 = 0,001726. b. 1 _ p = 579,3. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit 1 : 579,3. Das bedeutet, dass man unter rund 579 abgegebenen Tipps im Durchschnitt einen „Dreier mit Zusatzzahl“ erwarten kann. 141 Beim Lotto „6 aus 45“ müssen 6 Zahlen von 1 bis 45 angekreuzt werden. In der darauf folgenden Ziehung werden die 6 Gewinnzahlen ermittelt: die sogenannten 6 „Richtigen“. Außerdem wird noch die „Zusatzzahl“ gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Gewinnränge. a. 1. Rang: 6 Gewinnzahlen e. 5. Rang: 4 Gewinnzahlen b. 2. Rang: 5 Gewinnzahlen und Zusatzzahl f. 6. Rang: 3 Gewinnzahlen und Zusatzzahl c. 3. Rang: 5 Gewinnzahlen g. 7. Rang: 3 Gewinnzahlen d. 4. Rang: 4 Gewinnzahlen und Zusatzzahl h. 8. Rang: 0 Gewinnzahlen und Zusatzzahl A, B mcd/tns d79d4h Wahrschein- lichkeit eines Lottogewinns berechnen A, B, C A, B Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv