Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

329 8.2 Kompetenztraining für den Teil B B2_4.8/B4_4.7 Funktionen durch Taylor-Polynome approximieren und die Näherung inter- pretieren; Fehlerabschätzung bei alternierenden Reihen; Spezialfall: Linearisierung als Tangente interpretieren 1270 Die Schallgeschwindigkeit in der Luft bei der Temperatur θ °C ist c( θ ) = c 0 · 9 ___ 1 + θ _ T 0 . Hier bedeutet c 0 = 331,5m/s die Schallgeschwindigkeit bei 0 °C und T 0 = 273,15K die Temperatur 0 °C in Kelvin. a. Nähere die Funktion c, die jeder Temperatur die entsprechende Schallgeschwindigkeit zuordnet, an der Stelle 0 durch eine quadratische Funktion c 2 . b. Nähere die Funktion c an der Stelle 0 durch eine lineare Funktion c 1 . c. Berechne den relativen Fehler, der bei der Berechnung der Schallgeschwindigkeit bei einer Temperatur von 100 °C I. bei Verwendung der linearen Näherung II. bei Verwendung der der quadratischen Näherung auftritt. d. Stelle den Graphen der Funktionen c, c 1 und c 2 in einem Diagramm für den Temperatur- bereich von 0 bis 100 °C dar. B2_4.9/B4_4.12 Fourier-Analyse und -Synthese: Symmetrieeigenschaften von Funktionen erklären, den Gleichanteil interpretieren, periodische Funktionen durch Fourier-Reihen approximieren, in Sinus-Cosinus-Form und Amplitudenphasenform angeben; das Amplituden- spektrum berechnen und darstellen 1271 Gegeben ist der Graph einer 2 π -periodischen Funktion. a. Gib die Zuordnungsvorschrift dieser Funktion an. b. Berechne die Fourierkoeffizienten dieser Funktion. Schreib die Fourierreihe an. c. Stelle das Amplitudenspektrum für n = 0, 1, …, 10, also die ersten 11 Fourierkoeffizienten, graphisch dar. d. Stelle mit einem CAS den Graphen des 10. Fourierpolynoms dar. B2_4.10 lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten im fach- theoretischen Kontext aufstellen und lösen: homogene und inhomogene Gleichung unter- scheiden, allgemeine und partikulare Lösung bestimmen, die Lösungsteile und die Lösung darstellen und interpretieren 1272 An eine stromlose Spule mit der Induktivität L wird über einen ohmschen Widerstand R eine Gleichspannung der Stärke U 0 angelegt. a. Berechne den zeitlichen Verlauf des Spulenstroms i und der Spulenspannung u für die Anfangsbedingung i(0) = 0. b. Berechne den zeitlichen Verlauf des Spulenstroms und der Spulenspannung für die Anfangsbedingung i(0) = I 0 ≠ 0. A, B, C A, B, C x f(x) Ă 2 0 - Ă 2 Ă 3 Ă 2 2 Ă 5 Ă 2 A A, B L R t = 0 U 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv