Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

326 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung 1253 Das Weg-Kraft Diagramm einer Druckfestigkeitsprüfung folgt zunächst im elastischen Bereich dem Graphen der Funktion f mit f(x) = 2280x – 127 und dann im plastischen Bereich dem der Funktion p mit p(x) = ‒1 450x 2 + 3695x – 455. Die Kraft, die der erweiterten Proportionalitäts- grenze entspricht, wird bestimmt, indem jener Punkt des Graphen im plastischen Bereich bestimmt wird, in dem die Steigung der Tangente 2 _ 3 der Steigung des elastischen Bereichs beträgt. a. Zeichne die Graphen der gegebenen Funktionen und erstelle das Weg-Kraft Diagramm der Prüfung. b. Bestimme die Kraft, die der erweiterten Proportionalitätsgrenze entspricht. 1254 Ein Betrieb arbeitet entsprechend der Kostenfunktion K mit K(x) = 0,0005x 3 – 0,1x 2 + 60x + 2300. Die Preisfunktion des Produkts ist p mit p(x) = 150 – 0,5x. a. Stelle die Graphen der Kosten-, der Erlös- und der Gewinnfunktion in einem Diagramm dar. b. Gib an, bei welcher Produktionsmenge und bei welchem Preis der maximale Erlös erzielt werden kann. c. Berechne, bei welchem Preis man den maximalen Gewinn erzielen kann. B1a_4.6 Integralrechnung im anwendungsbezogenen Kontext verwenden: modellieren, berechnen, interpretieren und damit argumentieren (Verwendung von linearen Funktionen, quadratischen Funktionen, Polynomfunktionen, Exponentialfunktionen, z. B. Fläche als Arbeit, Rotationsvolumen um die x-Achse mit Funktionen in expliziter Darstellung) 1255 Der Verlauf einer Bruchbiegeprüfung an einer Holzprobe wurde in einem Diagramm dokumentiert. a. Finde geeignete Funktionen, um den Verlauf der Prüfung gut zu beschreiben. b. Berechne die Brucharbeit, die im Laufe der Prüfung verrichtet wurde, wenn es bei einer Verformung von 9,2mm zum Bruch kam. 1256 Ein Türknauf entsteht, indem die Graphen der Funktionen f mit f(x) = 1 _ 4 x 2 + 4 im Intervall [0; 4] und der Funktion g mit g(x) = ‒ 3x 2 + 24x – 40 im Intervall [4; 5,6] um die x-Achse rotieren. Berechne das Volumen des Türknaufs. 1257 Die Geschwindigkeit einer beschleunigenden U-Bahn kann innerhalb der ersten 10 Sekunden durch die Funktion v mit v(t) = 0,15t 2 beschrieben werden, wobei v(t) die Geschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t in Sekunden nach dem Start ist. a. Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von v und der ersten Koordinatenachse über dem Intervall [0s; 10s]. b. Interpretiere die in Aufgabe a. berechnete Zahl in Bezug auf die Fahrt der U-Bahn. B1a_4.7 Polynomfunktionen im ausbildungsbezogenen Kontext anwenden: modellieren, berech- nen und die Ergebnisse interpretieren (Kurvendiskussionen und Umkehraufgaben) 1258 Ein halbseitig eingespannter Träger biegt sich unter Gleichlast mittig zwischen den beiden Auf- lagern 1,8 cm durch. Die Auflager sind 3,5m von einander entfernt und der Träger ragt 60 cm aus. a. Modelliere den Verlauf des Trägers unter Belastung durch den Graphen einer Polynomfunk- tion mit Grad 3. b. Berechne, wie groß der Höhenunterschied zwischen Auflager und Ende des auskragenden Teils des Trägers ist. A, B A, B, C A, B s[mm] F[N] 2 0 4 6 10 8 0 800 400 1200 2000 2400 1600 A, B A, B, C A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verla s öbv