Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

320 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung B2_2.8 Grundgesetze aus dem Bereich der Elektrotechnik (Knotenregel, Maschenregel, Ohmsches Gesetz) modellieren 1213 Gegeben ist das abgebildete Netzwerk mit U 1 = 12V, U 2 = 20V, U 3 = 15V, R 1 = 120 Ω , R 2 = 480 Ω , R 3 = 320 Ω , R 4 = 270 Ω . a. Leite aus der Maschen- und Knotenregel ein Gleichungssystem für die Ströme I 1 , I 2 und I 3 = I 4 durch die Widerstände R 1 , R 2 , R 3 und R 4 her. b. Berechne die Ströme I 1 , I 2 und I 3 . B4_2.7 Matrizen als Operatoren von Abbildungen im R 2 (Drehungen um beliebige Punkte, Spiegelungen an beliebigen Geraden, Skalierungen um beliebige Punkte, Schiebungen) inter- pretieren, mit diesen anwendungsbezogen modellieren und operieren (wenn nötig, homogene Koordinaten verwenden) 1214 Bestimme die Matrix der Spiegelung an der Geraden durch den Nullpunkt und den Punkt 2 cos 2 π _ 3 3 sin 2 π _ 3 3 3 . Spiegle dann den Punkt (2 1 1) an dieser Geraden. 1215 Der Punkt P = (2 1 0) wird gegen den Uhrzeigersinn um 45° um den Punkt Z = (‒1 1 3) gedreht. Ermittle die Koordinaten des gedrehten Punktes. B4_2.9 Kombinatorik: Anzahl der Möglichkeiten eines vorgegebenen Sachverhalts mithilfe von Permutationen, Kombinationen und Variationen bestimmen 1216 Ein Fahrradschloss enthält 5 Ringe, die auf die Ziffern 0 bis 9 eingestellt werden können. Berechne, wie viele mögliche Ziffernkombinationen es gibt. 1217 Bei einem Ultramarathonlauf nehmen 17 Läuferinnen und Läufer teil. Bestimme, wie viele Möglichkeiten es für die Endreihung gibt, wenn niemand aufgibt und alle Läuferinnen und Läufer zu unterschiedlichen Zeiten ins Ziel kommen. 1218 Bestimme, wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 Zahlen aus 50 verschiedenen Zahlen auszuwählen. B4_2.10 Codierung und Chiffrierung: modulare Arithmetik zur Berechnung verwenden und erklären; asymmetrische Verschlüsselung am Beispiel des RSA-Verfahrens erklären (mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus) und durchführen; den Unterschied zu einer symme- trischen Verschlüsselungsmethode erklären 1219 Für ganze Zahlen m und n > 0 schreiben wir m mod n für den Rest von m nach Division durch n. Berechne mit möglichst wenig Rechenaufwand (31 234 + 33 553 ·75 – 367·989) mod 5. 1220 Florian gibt auf seiner Homepage die Zahlen n = 221 (das Produkt der Primzahlen 13 und 17) und e = 7 als öffentlichen Schlüssel zum Verschlüsseln mit dem RSA-Verfahren bekannt. a. Hätte Florian statt 7 auch 9 wählen können? Begründe. b. Leonhard verschlüsselt die Zahl 10 nach dem RSA-Verfahren und sendet sie an Florian. Entscheide, welche der folgenden Zahlen Florian erhält. A 121 B 192 C 10 7 D 13 c. Berechne für Florian die Zahl d, die er zum Entschlüsseln braucht. Verwende dazu den erweiterten Euklidischen Algorithmus. A, B U 3 U 2 U 1 R 4 R 3 R 2 R 1 A, B B A, B A, B A, B B B, C, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv