Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

317 8.2 Kompetenztraining für den Teil B B2_1.3 mithilfe von komplexen Zahlen in typischen Bereichen der Elektrotechnik anwendungs- bezogen modellieren und rechnen (Grundschaltelemente im Wechselstromkreis: R, L, C) 1194 Gegeben ist die abgebildete RLC-Kombination. Ist ω die Kreisfrequenz des Wechselstroms, dann ist der komplexe Widerstand des Kondensators mit Kapazität C in Farad gleich ‒ j _ ω C und der komplexe Widerstand der Spule mit Indukti- vität L in Henry ist j ω L. a. Berechne den komplexen Gesamtwiderstandes in der Form Z ges = a + jb. b. Ermittle jene Kreisfrequenzen, bei welchen der komplexe Gesamtwiderstand reell ist, das heißt, dass sich diese Schaltung wie ein Ohmscher Widerstand verhält. c. Berechne den Gesamtwiderstand bei den in Aufgabe b. berechneten Kreisfrequenzen. B2_1.4 die Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger erklären 1195 Erkläre, welcher Zusammenhang zwischen der Funktion f mit f(t) = a·sin( ω t + φ ) (mit gege- benen reellen Zahlen a > 0, ω und φ ) und einem in der komplexen Zahlenebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um 0 rotierender Zeiger mit Länge a besteht. 1196 Das Bild stellt einen Ausschnitt des Graphen einer allgemeinen Sinus- funktion u mit u(t) = U·sin( ω t + φ ) dar. (u beschreibt eine Wechselspannung). Dabei ist ω = 2 π _ T . a. Zeichne die Position des entspre- chenden rotierenden Zeigers zur Zeit 0ms ein. b. Bestimme die Zahlen U, ω und φ . c. Berechne und zeichne die Position des Zeigers zur Zeit t 1 = 70 μ s. d. Gib an, wie groß u(t 1 ) ist. e. Berechne, zu welchem Zeitpunkt t 2 zum ersten Mal das Maximum von 250mV erreicht wird. f. Ermittle den Zeitpunkt t 0 . g. Berechne die kleinste positive Nullstelle t 3 von u und zeichne die Position des Zeigers zu diesem Zeitpunkt ein. Algebra und Geometrie B_2.1 (alle HTL-Cluster) quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschie- denen möglichen Lösungsfalle inklusive komplexer Lösungen interpretieren und damit argumentieren 1197 Löse die quadratische Gleichung. a. 1 _ 2 x 2 + 3x + 4 = 0 b. x 2 + 6x + 10 = 0 1198 Argumentiere, wie eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten aussehen muss, deren Lösung einen Realteil hat, der 3-mal so groß wie der Imaginärteil ist. A, B R L C D A, B 165 250 t in þ s u in mV T = 100 þ s Re Im t 2 t 0 t 3 t 1 B D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv