Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

310 Vorbereitungen auf die Reife- und Diplomprüfung Analysis 4.1 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnis- ses argumentieren 1165 Gib an, welche Funktionen im abgebildeten Intervall definiert und stetig sind. Sollte eine Funkti- on an einer Stelle nicht definiert oder stetig sein, so gib diese Stelle an. A B C D 4.2 Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren 1166 Die Fahrt eines PKW kann in der Beschleunigungsphase durch die Funktion s mit s(t) = 1,2t 2 + 2,4t, die der Zeit t in Sekunden den Weg s in Metern zuordnet, beschrieben werden. a. Ermittle die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h während der ersten 5 Fahrsekunden. b. Bestimme die Momentangeschwindigkeit des PKW in km/h 5 Sekunden nach dem Start. c. Argumentiere mithilfe des Funktionsgraphen, warum die Durchschnittsgeschwindigkeit aus Aufgabe a. kleiner als die Momentangeschwindigkeit aus Aufgabe b. ist. 1167 Ein Schifahrer fährt eine Piste hinab und wird dabei immer schneller. 3 Sekunden nach dem Anfahren beträgt seine Geschwindigkeit 5,4m/s, nach weiteren 2 Sekunden 8,2m/s. a. Gib eine quadratische Funktion an, die den Zusammenhang zwischen der Zeit in Sekunden und dem vom Schifahrer zurückgelegten Weg in Metern beschreibt. b. Bestimme die Beschleunigung des Schifahrers in m/s 2 4 Sekunden nach dem Start. c. Argumentiere, wie sich die Beschleunigung des Schifahrers während der ersten 10 Fahr- sekunden verhält. 4.3 die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen, die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen 1168 Wurde die Ableitung von f mit f(x) = e 2x ·(3x 2 + x) 2 richtig ermittelt? Prüfe und markiere und korrigiere gegebenenfalls die Fehler: f’ mit f’(x) = e 2x ·(3x 2 + x) 2 + e 2x ·2·(3x 2 + x)·6x 4.4 Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren 1169 Betrachte die Funktion f mit f(x) = 1 _ 2 x 3 + x 2 – 5 _ 2 x – 3. a. Zeichne den Graphen der Funktion und lies daraus das Monotonieverhalten der Funktion ab. b. Bestimme die Steigung der Tangente an der Stelle 2. c. Ermittle den Steigungswinkel der Tangente an der Stelle ‒ 3. d. Argumentiere mithilfe der ersten Ableitung der Funktion, an welchen Stellen die Funktion monoton fallend ist. C x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 2 4 6 x y 0 - 2 2 4 6 - 2 2 4 6 x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 2 4 6 - 2 2 4 6 B, D A, B, D D A, B, D Nur zu Prüfzweck n – Eige tum des Verlags öbv