Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

29 1.3 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume 114 In einem Skigebiet sind 35% der Gäste aus Österreich, 38% aus Deutschland, 12% aus den Niederlanden, 9% aus der Ukraine und 4% aus Ungarn. Die restlichen 2% stammen aus anderen Ländern. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Gast aus Deutschland oder Österreich stammt. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Gast aus Ungarn oder der Ukraine stammt. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Gast nicht aus Österreich stammt. 115 In einer Firma wird ein Werkstück auf drei Maschinen hergestellt. 50% der Produktion kommt von Maschine 1, 30% von Maschine 2 und 20% von Maschine 3. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Stück auf Maschine 1 oder Maschine 2 produziert wurde. 116 Beschreibe das Komplementärereignis in Worten. a. Es wird mit einem Würfel gewürfelt, die Augenzahl ist gerade. b. Beim Werfen von zwei Würfeln ist die Augensumme kleiner als 6. c. Andreas kauft drei Lose. Mindestens eines davon gewinnt. d. Georg und Ben spielen fünfmal gegeneinander Tischtennis. Georg gewinnt jedes Mal. e. 20 Fahrräder werden überprüft. Höchstens 3 entsprechen nicht den Sicherheitsvorschriften. f. Beim Geographietest gab es 15 Fragen. Lara hat mindestens 12 davon richtig beantwortet. 117 Gegeben sind die Grundmenge Ω und eine Teilmenge A. Gib das Komplementärereignis von A an. a. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6} b. Ω = {A, B, C, D, E, F, G, H}, A = {D, G, H} c. Ω = {KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ}, A = {KKK, ZZZ} Laplacemodelle Will man für eine Problemstellung ein Wahrscheinlichkeitsmodell angeben, so muss man Grund- menge und Wahrscheinlichkeitsfunktion festlegen. Die Grundmenge wird durch die Versuchsanordnung bestimmt. Ist aufgrund der Versuchsannah- men klar, dass alle der m möglichen Versuchsausgänge die gleiche Chance des Auftretens haben, so hat jeder Ausgang ω die Wahrscheinlichkeit P( ω ) = 1 _ m , weil die Wahrscheinlichkeiten aller Ausgänge gleich sind und ihre Summe 1 sein muss. Ein Laplacemodell ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, in dem Ω aus m Elementen besteht, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit 1 _ m haben. Achtung Beachte, dass diese Voraussetzung in der Praxis nicht immer gegeben ist. So beträgt etwa die Wahrscheinlichkeit, dass ein soeben gezeugtes Kind ein Mädchen wird, nicht 1 _ 2 sondern nur 0,486. Bei Glücksspielen handelt es sich fast durchgehend um Laplacemodelle. Jede Seite eines Würfels hat die gleiche Wahrscheinlichkeit 1 _ 6 , jede Zahl im Roulette hat die gleiche Wahrscheinlichkeit 1 _ 37 . Auch beim Lotto hat beispielsweise die Zahlenkombination (1, 2, 3, 4, 5, 6) die gleiche Wahr- scheinlichkeit wie (4, 10, 17, 22, 38, 44), nämlich 1 __ 8450060 . Da die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elemente von E ist, ergibt sich in Laplacemodellen eine einfache Formel für die Berechnung solcher Wahrscheinlichkeiten, die sogenannte „klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition“: A, B A, B A A Laplacemodell Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv