Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

28 Grundlagen der Stochastik 111 Ein gewöhnlicher Spielwürfel wird geworfen. Die Grundmenge ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Wahrscheinlichkeit jeder Augenzahl ist 1 _ 6 . Beschreibe das angeführte Ereignis durch Angeben der entsprechenden Teilmenge der Grundmenge und berechne seine Wahrscheinlichkeit. a. Es wird eine ungerade Zahl geworfen. b. Es wird eine Primzahl geworfen. c. Es wird kein Einser geworfen. d. Es wird eine Zahl kleiner als 4 geworfen. 112 In der Abbildung siehst du ein Roulettefeld. Die Grundmenge ist Ω = {0, 1, 2, 3, … , 36}. Die Wahrscheinlichkeit jeder Zahl ist 1 _ 37 . Beschreibe das angeführte Ereignis durch die entsprechende Teilmenge von Ω und berechne seine Wahrscheinlichkeit. a. Die Kugel fällt auf eine rote Zahl. b. Die Kugel fällt auf eine schwarze Zahl. c. Die Kugel fällt auf eine Zahl in der ersten (senkrechten) Reihe. 113 Es werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Die Grundmenge ist die Menge der Zahlenpaare Ω = {(1, 1), (1, 2), … , (1, 6), (2, 1), … , (2, 6), (3, 1) , … , (3, 6), (4, 1), … , (4, 6), (5, 1), … , (5, 6), (6, 1), …, (6, 6)}. Die Wahrscheinlichkeit jedes Paares von Augenzahlen ist 1 _ 36 . Beschreibe das angeführte Ereignis durch die entsprechende Teilmenge der Grundmenge und berechne seine Wahrscheinlichkeit. a. Die Augensumme beträgt 3. b. Die Augensumme beträgt 7. c. Beide Würfel zeigen eine gerade Zahl. d. Das Produkt der beiden Augenzahlen ist 12. e. Für welches der in den Aufgaben a. – d. angeführten Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit am größten? Begründe deine Antwort. Additionsregel und Gegenereignis Falls E und F keine gemeinsamen Elemente haben, also E ° F = { } ist, gilt die Additionsregel für einander ausschließende Ereignisse P(E ± F) = P(E) + P(F) . Oft ist es einfacher, anstelle der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E, die Wahrscheinlichkeit seines Gegenteils ( Gegenereignis oder Komplementärereignis ) E c = Ω \E (sprich „E komplementär“) zu berechnen. Dabei ist P(E c ) = 1 – P(E) . Das können wir nachrechnen: Weil E c und E keine gemeinsamen Elemente haben und E c ± E = Ω ist, ist 1 = P( Ω ) = P(E c ± E) = P(E c ) + P(E), also P(E c ) = 1 – P(E). Tipp Achte in den Aufgaben speziell auf die Wörter „ mindestens “, „ höchstens “, „ kleiner als “, „ größer als “. In diesen Fällen ist die Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit oft einfacher. A A 2 4 6 8 10 11 13 15 17 20 22 24 26 28 29 31 33 35 1 3 5 7 9 12 14 16 18 19 21 23 25 27 30 32 34 36 0 12 P 12 P 12 M 12 M 12 D 12 D MANQUE IMPAIR PAIR PASSE A, B, D Additionsregel Gegenereignis Komplementär- ereignis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv