Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

27 1.3 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume Beispiele:  Die Roulettekugel fällt auf eine schwarze Zahl.  Der Wurf von zwei Würfeln ergibt zwei gleiche Augenzahlen.  Ich erhalte beim Lotto mindestens einen Fünfer. Bei einem Zufallsexperiment ist ein Ereignis E eine Teilmenge der Grundmenge Ω . Achtung Für ω * Ω machen wir keinen Unterschied zwischen dem Element ω und der Teilmenge { ω } von Ω . Beachte, dass daher jeder Ausgang eines Zufallsexperimentes gleichzeitig auch ein Ereignis ist. Umgekehrt ist aber nicht jedes Ereignis auch ein Ausgang! Ein Ereignis E kann entweder durch eine Beschreibung der Eigenschaften der Versuchsausgänge (E: gerade Augenzahl beim Würfeln) oder durch Angabe aller Ausgänge, die zum Ereignis gehören (E = {2, 4, 6}), angegeben werden. Wir definieren die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E a Ω durch P(E) = ; ω * E P( ω ). In Worten: Die Wahrscheinlichkeit von E ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elemente von E. Wir betrachten im Weiteren die Wahrscheinlichkeitsfunktion P auch als Funktion, die jeder Teil- menge von Ω (also jedem Ereignis) eine Zahl im Intervall [0; 1] zuordnet. Diese Funktion hat die folgenden Eigenschaften: 0 ª P(E) ª 1, P({ }) = 0, P( Ω ) = 1 Tipp Manchmal werden Wahrscheinlichkeiten auch in Prozent oder in der Form 1 : 1 _ p angegeben. So spricht man beispielsweise statt von der „Wahrscheinlichkeit 0,02“ auch von der „Wahrscheinlichkeit 2%“ oder der „Wahrscheinlichkeit 1 : 50“. 108 Schreibe die Wahrscheinlichkeiten auch in den beiden anderen Formen an, nach dem Muster 0,1 = 10% = 1 : 10. a. 0,05 b. 4% c. 1 : 40 d. 0,0004 e. 0,5% f. 1 : 800 109 Zwei Spielwürfel werden gleichzeitig geworfen. Gib die dem folgenden Ereignis E entsprechende Teilmenge der Grundmenge und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses an. a. E: „Augensumme 5“ b. E: „Doppelsechs“ c. E: „zwei gerade Zahlen“ Die Grundmenge ist die Menge aller 36 Paare der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Wir nehmen an, dass jeder Ausgang gleich wahrscheinlich ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes Zahlenpaares 1 _ 36 . a. E = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}; P(E) = 4 _ 36 = 1 _ 9 b. E = {(6, 6)}; P(E) = 1 _ 36 c. E = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}; P(E) = 9 _ 36 = 1 _ 4 110 Es wird mit zwei Würfeln gleichzeitig gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeit jedes Paares von Augen- zahlen ist 1 _ 36 . Beschreibe das angeführten Ereignis durch die entsprechende Teilmenge der Grundmenge und berechne seine Wahrscheinlichkeit. a. Die Augensumme beträgt 6. b. Das Produkt der beiden Augenzahlen beträgt 6. Ereignis Wahrschein- lichkeit eines Ereignisses Eigenschaften von Wahr- scheinlichkeits- funktionen B alle Ausgänge in einem Ereignis bestimmen C A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv