Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

260 Funktionen in zwei Variablen 1006 Für eine dünne Linse gilt 1 _ b + 1 _ g = 1 _ f , wobei b die Bildweite, g die Gegenstandsweite und f die Brennweite der Linse ist. Ermittle den relativen Fehler bei der Berechnung der Brennweite f, wenn b und g nur auf jeweils 0,5% genau gemessen werden können. 1007 Für diese Aufgabe benötigt ihr einen kleinen Ball, ein Maßband und eine Stoppuhr. Ein Körper, der (im Vakuum) zu Boden fällt, legt in der Zeit t (in Sekunden) den Weg s = g· t 2 _ 2 (in Meter) zurück. Kennt man s und t, kann man daraus die Fallbeschleunigung g berechnen. a. Gebt eine Funktion f an, die der Fallhöhe h in Metern (m) und der Fallzeit t in Sekunden (s) die Fallbeschleunigung g in m/s 2 zuordnet. b. Lasst jetzt euren Ball aus einer Höhe von 2m zu Boden fallen und stoppt mit, wie lange der Ball bis zum Aufprall benötigt. Berechnet aus dieser Fallzeit mithilfe der in Aufgabe a. gefun- denen Funktion die Fallbeschleunigung g. Wiederholt dieses Experiment mindestens 10-mal und berechnet anschließend den Mittelwert g und die Standardabweichung eurer Resultate. c. Entwickelt mithilfe der partiellen Ableitungen eine Formel für die Abschätzung des absoluten und relativen Fehlers, wenn die Messwerte für h und t mit den Fehlern Δ h und Δ t behaftet sind. Nehmt für Δ h und Δ t jeweils die in Aufgabe b. berechnete Standardabweichung. d. Schätzt ab, wie genau ihr eurer Meinung nach h und t gemessen habt, und berechnet damit den absoluten und den relativen Fehler der von euch ermittelten Fallbeschleunigung g. e. Wie groß ist näherungsweise der maximale Fehler, wenn Δ h = 0,01m und Δ t = 0,01 s ist? 1008 Peter möchte wissen, wie viel Liter Wasser in sein kreisrundes Schwimmbecken passen. Mit einem Maßband misst er einen Durchmesser von ca. 5,2m und eine Wassertiefe von ca. 1,7m. a. Wie viel Liter fasst das Schwimmbecken, wenn Peters Messwerte exakt stimmen. b. Gib den absoluten Fehler in Litern an, wenn die Messgenauigkeit beim Durchmesser Δ d und bei der Wassertiefe Δ h beträgt. c. Berechne den absoluten und den relativen Fehler, wenn Δ d = Δ h = 0,05m ist. 1009 Ein PKW fährt eine Strecke s (in km) mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit v (in km/h). Die Zeit t (in h), die er für diese Strecke benötigt, ist t(s, v) = s _ v . a. Gib an, wie man die Ungenauigkeit der Fahrzeit berechnen kann, wenn man annimmt, dass die Strecke auf Δ s (in km) genau bekannt ist und die Durchschnittsgeschwindigkeit auf Δ v km/h. b. Wir nehmen an, dass die Stecke s = 300 km ± 1 km lang ist und v = 120 km/h ± 10 km/h beträgt. Berechne mithilfe von Aufgabe a. , wie lange der PKW für diese Strecke benötigt. c. Wir nehmen an, dass die Strecke exakt 300km lang ist. Berechne näherungsweise die Zeiter- sparnis, wenn man die geplante Durchschnittsgeschwindigkeit von 120km/h um 5km/h steigert. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann die Fortpflanzung von Fehlern mithilfe des Differentials abschätzen. 1010 Die Seite der Grundfläche einer quadratischen Pyramide ist 7cm ± 0,25 cm, die Höhe ist 15 cm ± 0,5 cm. Ermittle näherungsweise den absoluten und den relativen Fehler des Volumens. 1011 Die Schwingungsdauer eines mathematischen Fadenpendels ist T = 2 π 9 _ ø _ g , wobei ø die Länge des Pendels und g die Erdbeschleunigung ist. Berechne den relativen Fehler der Schwingungsdauer, wenn ø auf höchstens 0,5% genau und g auf höchstens 0,1% genau bestimmt werden kann. A, B Gegenstand reelles Bild G B Gegenstandweite g Bildweite b Brennweite f f A, C A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv