Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

26 Grundlagen der Stochastik 106 Wann ist ein Würfel fair? Diskutiert diese Frage und überprüft euer Ergebnis mithilfe des mehr- fachen Werfens eines Würfels. Diskutiert auch die Frage, wie oft der Würfel geworfen werden sollte, um zu beurteilen, ob er fair ist. 107 Erzeuge mithilfe von Zufallszahlen 100 Ausgänge eines Münzwurfes, indem du die Zahlen auf 0 oder 1 rundest, und so die Ausgänge Kopf und Zahl simulierst. a. Zähle die absolute Häufigkeit von „Kopf“ in den ersten 10, 20, 30, …, 100 Versuchen und berechne die zugehörigen relativen Häufigkeiten. b. Stelle die relative Häufigkeit in Abhängigkeit von der Anzahl der Versuche in einem Diagramm dar und überprüfe, ob sich ein „Grenzwert“ erahnen lässt. c. Berechne die relative Häufigkeit des Ausgangs „Kopf“ für 100 neue Würfe und vergleiche die- se mit der relativen Häufigkeit der ersten 100 Versuche. Untersuche, ob die beiden relativen Häufigkeiten übereinstimmen. Wahrscheinlichkeitsfunktion und Ereignisse Wie können wir prüfen, ob ein Würfel „fair“ ist? Wir würfeln 100- oder 1 000- oder 10000-mal und bestimmen für alle Augenzahlen ω die Folge der relativen Häufigkeiten h n ( ω ) dieser Augenzahl bei n Würfen. Das empirische Gesetz der großen Zahlen ist kein mathematischer Satz, aber es legt nahe, dass für jede Augenzahl ω die Folge der relativen Häufigkeiten k h n ( ω ) l einen Grenzwert hat. Wir nennen den Grenzwert von k h n ( ω ) l die Wahrscheinlichkeit von ω . Wenn die Wahrscheinlich- keit von ω für alle Augenzahlen ω gleich ist, dann nennen wir den Würfel fair. Unter der Wahrscheinlichkeit P( ω ) eines Ausgangs ω eines Zufallsexperimentes verstehen wir den Grenzwert der Folge k h n ( ω ) l der relativen Häufigkeiten dieses Ausgangs, also P( ω ) = lim n ¥ • h n ( ω ). Da durch diese Definition jedem Ausgang ω * Ω genau eine Zahl zugeordnet wird, erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion P: Ω ¥ R , die jedem Ausgang ω seine Wahrscheinlichkeit P( ω ) zuordnet. Für die relativen Häufigkeiten gilt 0 ª h n ( ω ) ª 1 und ; ω * Ω h n ( ω ) = 1. Daher muss auch 0 ª P( ω ) = lim n ¥ • h n ( ω ) ª 1 und ; ω * Ω P( ω ) = ; ω * Ω lim n ¥ • h n ( ω ) = lim n ¥ • ; ω * Ω h n ( ω ) = 1 sein. Das legt die folgende Definition nahe: Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einer endlichen Menge Ω und einer Funktion P: Ω ¥ [0; 1] mit der Eigenschaft ; ω * Ω P( ω ) = 1. Die Menge Ω nennen wir Grundmenge oder Ausgangsmenge und die Funktion P Wahrscheinlich- keitsfunktion . P( ω ) nennen wir die Wahrscheinlichkeit von ω . Die Menge Ω enthält alle möglichen Ausgänge des Experimentes. Die Wahrscheinlichkeitsfunkti- on P muss in jedem Anwendungsfall geeignet bestimmt werden. Meistens interessieren wir uns bei einem Zufallsexperiment nicht für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen konkreten Ausgangs ω , sondern möchten, dass der Ausgang bestimmte Bedingungen erfüllt. Wir sprechen dann von einem Ereignis E. D B Wahr- scheinlichkeit endlicher Wahrscheinlich- keitsraum Grundmenge Wahrscheinlich- keitsfunktion Wahrscheinlich- keit Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv

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