Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

259 6.3 Fehlerfortpflanzung 999 Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche eines Quaders ist 20 cm ± 1 _ 2 cm, die Höhe ist 50 cm ± 1 cm. Ermittle, mit welchem absoluten und welchem relativen Fehler das Volumen berechnet werden kann. Das Volumen eines quadratischen Quaders mit Seitenlänge (der Grundfläche) a cm und Höhe h cm ist V(a, h) = a 2 ·h cm 3 . Die partiellen Ableitungen von V an der Stelle (a, h) sind ∂ V _ ∂ a (a, h) = 2ah und ∂ V _ ∂ h (a, h) = a 2 . Mit Δ a = 1 _ 2 cm und Δ h = 1 cm erhalten wir | V(20 ± 1 _ 2 , 50 ± 1) – V(20, 50) | ≈ ‡ 2ah· Δ a + a 2 · Δ h ‡ = | 2·20·50· 1 _ 2 + 400·1 | = 1 400. Der relative Fehler ist ungefähr 1400 _ V(20, 50) = 1400 _ 20000 = 0,07, also 7%. 1000 Berechne näherungsweise den relativen Fehler bei der Multiplikation von zwei gerundeten positiven Zahlen a, b mit Rundungsfehlern Δ a und Δ b. Berechne dann den relativen Fehler bei der Multiplikation der Zahlen a = 10,001 und b = 9,0036, wenn man diese beiden Zahlen auf Hundertstel rundet. Die partiellen Ableitungen der Funktion Mult mit Mult(x, y) = x·y an der Stelle (a, b) sind ∂ Mult _ ∂ x (a, b) = b und ∂ Mult _ ∂ y (a, b) = a. Daher ist (a ± Δ a)(b ± Δ b) – ab ≈ ±b· Δ a ± a· Δ b und der relative Fehler ‡ (a ± Δ a)(b ± Δ b) – ab ‡ ___ ‡ ab ‡ ≈ ‡ b· Δ a + a· Δ b ‡ __ ‡ ab ‡ = Δ a _ ‡ a ‡ + Δ b _ ‡ b ‡ . Bei der Multiplikation von zwei gerundeten positiven Zahlen addieren sich also die relativen Fehler der Faktoren. Runden wir a und b jeweils auf Hundertstel, erhalten wir a N = 10 und b N = 9. Δ a = 0,001 und Δ b = 0,0036. Der relative Fehler ist daher Δ a _ ‡ a ‡ + Δ b _ ‡ b ‡ = 0,001 _ 10,001 + 0,0036 _ 9,0036 ≈ 0,0001 + 0,0004 = 0,0005 = 0,05% und a·b ≈ 90 ± 0,045. 1001 Der Radius eines Zylinders ist 5cm ± 0,1 cm und die Höhe ist 20cm ± 0,5cm. Berechne mithilfe der Differentialrechnung den absoluten und den relativen Fehler a. der Oberfläche, b. des Volumens. 1002 Beim Verpacken von gleichartigen Produkten wird das Papier händisch in Form von Rechtecken zuge- schnitten. Die Abmessungen der Rechtecke liegen bei 80cm ± 5cm mal 60cm ± 5cm. Ermittle mithil- fe der Differentialrechnung den absoluten und den relativen Fehler der verbrauchten Papiermenge. 1003 Beim Bau einer Rampe werden die horizontale Länge mit 6m ± 0,05m und die zu überwindende Höhe mit 1m ± 0,05m gemessen. a. Ermittle den absoluten und den relativen Fehler der Länge der Rampe. b. Berechne den absoluten und den relativen Fehler der Steigung der Rampe. 1004 Es soll ein Damm gebaut werden. Dafür wird ein Dammquerschnitt mit einer Fläche von 15m 2 ± 0,5m 2 und einer Länge von 150m ± 1m veranschlagt. Berechne mithilfe der Differential- rechnung den absoluten und den relativen Fehler des Dammvolumens. 1005 Zur Berechnung der Geschwindigkeit wurde für die Messstrecke mit 1 km ± 0,001 km die Zeit mit 55 s ± 0,1s gemessen. a. Gib den absoluten Fehler der Geschwindigkeit in m/s an. b. Ermittle den relativen Fehler in Prozent. den absoluten und relativen Fehler bei einer Volums- berechnung näherungsweise bestimmen A, B den absoluten und relativen Fehler bei der Multiplikation näherungsweise berechnen B A, B A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv