Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

257 6.2 Partielle Ableitungen 992 Gegeben ist die Funktion f: R 2 ¥ R mit f(x, y) = y + xy + 2y 2 . a. Berechne die partiellen Ableitungen von f an der Stelle (1, 0,5). b. Ermittle die Tangentialebene von f an der Stelle (1, 0,5). c. Kontrolliere deine Rechnung, indem du sowohl den Funktionsgraphen als auch die Tangentialebene mithilfe einer geeigneten Software graphisch darstellst. 993 Die Funktion f: R 2 ¥ R ist durch f(x, y) = { xy _ x 2 + y 2 für (x, y) ≠ (0, 0) 0 für (x, y) = (0, 0) definiert. Die Funktion f ist an jeder Stelle partiell differenzierbar. Berechne das Differential an der Stelle (0, 0). Ist dieses Differential eine gute Näherung von f an der Stelle (0, 0)? Es ist ∂ f _ ∂ x (0, 0) = lim z ¥ 0 2 f(z, 0) – f(0, 0) __ z – 0 3 = lim z ¥ 0 2 z·0 _ z 2 _ z 3 = 0, und ∂ f _ ∂ y (0, 0) = 0. Daher ist das Differential an der Stelle (0, 0) die Nullfunktion. Aber Vorsicht! Was wir für Polynomfunktionen gezeigt haben, gilt nicht für jede partiell differenzierbare Funktion! In diesem Fall ist das Differential keine gute Näherung! Denn für jede Zahl a ≠ 0 ist f(a, a) = 1 _ 2 , aber f(a, ‒ a) = ‒ 1 _ 2 . Der Abstand zwischen (a, a) und (a, ‒ a) ist nur 2a und kann daher beliebig klein werden, hingegen bleibt der Abstand der Funktionswerte an diesen Stellen immer 1! 994 Die Funktion f: R 2 ¥ R ist durch f(x, y) = { (x + y) 2 _ x 2 + y 2 für (x, y) ≠ (0, 0) 1 für (x, y) = (0, 0) definiert. Sie ist an jeder Stelle partiell differenzierbar. Berechne das Differential D von f an der Stelle (0, 0). Überlege, ob die Funktion g mit g(x, y) = 1 + D(x, y) eine gute Näherung von f an der Stelle (0, 0) ist. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne die partiellen Ableitungen von Funktionen in zwei Variablen und kann diese damit durch lineare Funktionen annähern. 995 Berechne die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y der Funktion f. a. f(x, y) = 2x + 3y – 3x 2 y + 4xy 3 b. f(x, y) = 3 9 ____ x 3 + y 3 996 Bestimme die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (‒1, 2) der Funktion f mit f(x, y) = x 3 – 2x 2 – 4xy + 3y. 997 Gib das Differential der Funktion f mit f(x, y) = (x – 3y) 3 an der Stelle (1, 1) an und benütze es, um den Funktionswert an der Stelle (1,02, 0,97) näherungsweise zu berechnen. 998 Bestimme die Gleichung der Tangentialebene der Funktion f mit f(x, y) = xe y + ye x in (0, 0) und stelle den Graphen von f und die Tangentialebene mithilfe eines CAS graphisch dar. B Differential berechnen B, C B, C B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv