Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

256 Funktionen in zwei Variablen 987 Berechne den Funktionswert und die partiellen Ableitungen der Funktion an der Stelle (a, b). a. V mit V(r, h) = r 2 π h _ 3 ; (a, b) = (4, 10) b. E mit E(m, v) = m·v 2 ; (a, b) = (80, 5) c. T mit T(L, C) = 2 π 9 __ LC ; (a, b) = (10 ‒2 , 10 ‒9 ) 988 Berechne das Differential und die Tangentialebene an der Stelle (0, 0) der Funktionen f mit f(x, y) = x 2 – y 2 und g mit g(x, y) = x 2 + y 2 . Zeichne die Graphen der Funktionen mithilfe eines CAS und vergleiche die Ergebnisse. Es ist ∂ f _ ∂ x (x, y) = 2x und ∂ f _ ∂ y (x, y) = ‒ 2y, daher ist ∂ f _ ∂ x (0, 0) = 0 und ∂ f _ ∂ y (0, 0) = 0. Somit ist das Differential an der Stelle (0, 0) die Nullfunktion. Weiters ist f(0, 0) = 0. Die Tangentialebene von f an der Stelle 0 ist daher die Menge aller Tripel reeller Zahlen (x, y, z) mit z = 0. Für g berechnen wir ∂ g _ ∂ x (x, y) = 2x und ∂ g _ ∂ y (x, y) = 2y, daher ist ∂ g _ ∂ x (0, 0) = 0 und ∂ g _ ∂ y (x, y) = 0. Somit ist das Differential an der Stelle (0, 0) auch bei dieser Funktion die Nullfunktion. Weiters ist g(0, 0) = 0. Somit ist die Tangentialebene von g an der Stelle (0, 0) dieselbe wie die von f. Der Graph von g entsteht durch Rotation einer Parabel um die dritte Koordinatenachse, während der Graph von f die Form eines Sattels hat. Obwohl die Funktionswerte von f und g in einer kleinen Umgebung von (0, 0) daher annähernd gleich sind, gibt es wesentliche Unterschiede: Die Funktion f hat an der Stelle (0, 0) den kleinstmöglichen Funktionswert 0 (weil Summen von Quadraten reeller Zahlen nie negativ sein können), während die Funktion g beliebig nahe bei (0, 0) sowohl positive als auch negative Funktionswerte hat. 989 Berechne die Tangentialebene der Funktion f mit f(x, y) = 9 ____ x 2 + y 2 an der Stelle (0, 1) und stelle den Graphen von f und die Tangentialebene mithilfe eines CAS graphisch dar. 990 Berechne die Tangentialebene der Funktion f mit f(x, y) = e x + y an der Stelle (0, 0) und stelle den Graphen von f und die Tangentialebene mithilfe eines CAS graphisch dar. 991 Gegeben ist die Funktion f: R 2 ¥ R mit f(x, y) = 9 _______ 169 – x 2 – y 2 . a. Berechne die partiellen Ableitungen von f an der Stelle (3, 4). b. Ermittle die Tangentialebene von f an der Stelle (3, 4). c. Kontrolliere deine Rechnung, indem du sowohl den Funktionsgraphen als auch die Tangentialebene mithilfe einer geeigneten Software graphisch darstellst. B die Tangential- ebene ermitteln und Graphen zeichnen B ggb/xls/mcd/tns 96h3ag Graph von f Graph von g B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv