Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

255 6.2 Partielle Ableitungen 980 a. Berechne die partiellen Ableitungen der Funktion f: R 2 ¥ R mit f(x, y) = x·e xy . b. Ermittle das Differential und die Tangentialebene von f an der Stelle (0, 0). c. Berechne das Differential und die Tangentialebene von f an der Stelle (1, 1). d. Ermittle eine Näherung von f(0,01, 0,01) und von f(1,01, 1,01). a. Mit der Produktregel und Kettenregel erhalten wir ∂ f _ ∂ x (x, y) = 1·e xy + x·y·e xy und ∂ f _ ∂ y (x, y) = x 2 ·e xy . b. Es ist f(0, 0) = 0·1 = 0, ∂ f _ ∂ x (0, 0) = 1·1 + 1·0·1 = 1 und ∂ f _ ∂ y (0, 0) = 0·1 = 0. Das Differential an der Stelle (0, 0) ist die lineare Funktion D f, (0, 0) mit D f, (0, 0) (x, y) = ∂ f _ ∂ x (0, 0)·x + ∂ f _ ∂ y (0, 0)·y, also D f, (0, 0) (x, y) = 1·x + 0·y = x. Die Tangentialebene von f an der Stelle (0, 0) ist daher der Graph der Funktion h mit h(x, y) = f(0, 0) + D f, (0, 0) (x – 0, y – 0) = 0 + 1·(x – 0) + 0·(y – 0) = x. Eine Gleichung der Tangentialebene ist somit z = x bzw. x – z = 0. c. D f, (1, 1) (x, y) = ∂ f _ ∂ x (1, 1)·x + ∂ f _ ∂ y (1, 1)·y = 2e·x + e·y. Die Tangentialebene von f an der Stelle (1, 1) ist der Graph der Funktion k mit k(x, y) = f(1, 1) + 2e·(x – 1) + e·(y – 1) = ‒ 2e + 2e·x + e·y. Eine Gleichung der Tangentialebene ist somit z = ‒ 2e + 2e·x + e·y bzw. 2e·x + e·y – z = 2e. d. Es ist f(0,01, 0,01) ≈ h(0,01, 0,01) = 0,01 und f(1,01, 1,01) ≈ k(1,01, 1,01) = ‒ 2e + 2e·1,01 + e·1,01 = (‒ 2 + 2,02 + 1,01)e = 1,03e. 981 Berechne die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y der Funktion f. a. f(x, y) = x + e y c. f(x, y) = x·sin(y) + y b. f(x, y) = x·e y + y·e x d. f(x, y) = cos(y) + x·sin(y) 982 Ermittle die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y der Funktion f. a. f(x, y) = x·e x + y·e y c. f(x, y) = sin(x)·e x·y b. f(x, y) = x·sin(x) + y·cos(y) d. f(x, y) = x·y·e x + y 983 Finde die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y der Funktion f. a. f(x, y) = x·sin(x·y) c. f(x, y) = 9 ___ x + xy b. f(x, y) = sin(x·y)·e x d. f(x, y) = 9 ______ x 2 – xy + y 2 984 Berechne die partiellen Ableitungen der Funktion f. a. f(x, y) = e x + y c. f(x, y) = e 4x + 3y e. f(x, y) = sin(x + y) g. f(x, y) = 9 ____ x 2 + y 2 b. f(x, y) = e xy d. f(x, y) = e x 2 + 2xy + y 2 f. f(x, y) = cos(x·y) h. f(x, y) = 3 9 _______ x 2 + 2xy + y 2 985 Berechne das Differential und eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion f an der angege- benen Stelle. a. f(x, y) = x·sin(y); an der Stelle (0, 0) c. f(x, y) = sin(x + y); an der Stelle (0, π ) b. f(x, y) = x·y·e 2x – y ; an der Stelle (1, 1) d. f(x, y) = x 2 ·e x·y ; an der Stelle (‒1, 0) 986 Ermittle für die Funktion f mit f(x, y) = x·e y + y·e x mithilfe des Differentials an der Stelle (0, 0) eine Näherung von f (0,01, ‒ 0,02). Vergleiche den ermittelten mit dem tatsächlichen Funktionswert. die partiellen Ableitungen und das Differential einer Funktion berechnen B ggb a5v4z9 B B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv