Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

254 Funktionen in zwei Variablen Partielle Ableitungen (allgemeiner Fall) Wir können nun die Überlegungen zum partiellen Differenzieren von Polynomfunktionen auf viele andere Funktionen übertragen: Wir betrachten eine Teilmenge M von R 2 , die mit jedem ihrer Punkte auch eine kleine Umgebung davon enthält (zum Beispiel R 2 , ( R + ) 2 , ( R \{0}) 2 oder die Menge aller Punkte in R 2 , deren Abstand von (0, 0) kleiner als 1 ist) und ein Zahlenpaar (a, b) * M. Eine Funktion f: M ¥ R heißt an der Stelle (a, b) partiell nach x differenzierbar , wenn der Grenzwert lim x ¥ a 2 f(x, b) – f(a, b) __ x – a 3 existiert, also die Funktion f (–, b) mit f (–, b) (x) = f(x, b) an der Stelle a differenzierbar ist. Wir nennen dann diesen Grenzwert die partielle Ableitung von f nach x an der Stelle (a, b) und schreiben dafür ∂ f _ ∂ x (a, b) (sprich: de-f nach de-x von (a, b)). Eine Funktion f: M ¥ R heißt an der Stelle (a, b) partiell nach y differenzierbar , wenn der Grenzwert lim y ¥ b 2 f(a, y) – f(a, b) __ y – b 3 existiert. Wir nennen dann diesen Grenzwert die partielle Ableitung von f nach y an der Stelle (a, b) und schreiben dafür ∂ f _ ∂ y (a, b) (sprich: de-f nach de-y von (a, b)). Die Zahlen ∂ f _ ∂ x (a, b) oder ∂ f _ ∂ y (a, b) berechnen heißt f an der Stelle (a, b) partiell nach x oder nach y differenzieren . Die lineare Funktion D f, (a, b) mit D f, (a, b) (x, y) = ∂ f _ ∂ x (a, b)·x + ∂ f _ ∂ y (a, b)·y nennen wir das Differential von f an der Stelle (a, b) . Der Graph der Funktion h mit h(x, y) = f(a, b) + ∂ f _ ∂ x (a, b)·(x – a) + ∂ f _ ∂ y (a, b)·(y – b) = f(a, b) + D f, (a, b) (x – a, y – b) heißt Tangentialebene von f an der Stelle (a, b) . Eine Funktion heißt partiell nach x differenzierbar , wenn sie in jedem Element ihres Definitions- bereichs partiell nach x differenzierbar ist. Dann heißt die Funktion, die jedem Element (a, b) von M die partielle Ableitung nach x von f in (a, b) zuordnet, partielle Ableitung von f nach x und wird mit ∂ f _ ∂ x bezeichnet. Ebenso wird die partielle Ableitung von f nach y definiert und mit ∂ f _ ∂ y bezeichnet. Statt x und y können auch andere Zeichen verwendet werden, zum Beispiel x 1 und x 2 . Für die partiellen Ableitungen gelten Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel analog zur gewöhnlichen Ableitung. Tipp Auch im allgemeinen Fall kann die Ableitung nach der einen Variablen berechnet werden, indem man „die andere Variable als Konstante betrachtet und dann gewöhnlich differenziert“. Achtung Wir haben gesehen, dass Polynomfunktionen in zwei Variablen an allen Stellen partiell differen- zierbar sind. Für viele andere Funktionen gilt das aber nicht, zum Beispiel ist die Funktion f: R 2 ¥ R mit f(x, y) = ‡ x – y ‡ in (0, 0) nicht partiell differenzierbar. In den folgenden Aufgaben kommen aber nur Funktionen vor, die überall partiell differenzierbar sind. an der Stelle (a, b) partiell differenzierbare Funktion partielle Ableitungen an der Stelle (a, b) Differential Tangential- ebene partielle Ableitungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv