Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

253 6.2 Partielle Ableitungen 972 Gegeben ist die reellwertige Funktion in zwei Variablen f mit f(x, y) = 1 – 2x + 5y – 4xy 2 + x 2 y 2 . a. Berechne das Differential dieser Funktion an der Stelle (1, 2). b. Schreibe eine Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (1, 2) an. c. Berechne näherungsweise den Funktionswert von f an der Stelle (1,01, 2,01) und vergleiche ihn mit dem exakten Funktionswert. a. Die partiellen Ableitungen sind ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y mit ∂ f _ ∂ x (x, y) = ‒ 2 – 4y 2 + 2xy 2 und ∂ f _ ∂ y (x, y) = 5 – 8xy + 2x 2 y. Daher ist ∂ f _ ∂ x (1, 2) = ‒ 2 – 4·2 2 + 2·1·2 2 = ‒10 und ∂ f _ ∂ y (1, 2) = 5 – 8·1·2 + 2·1 2 ·2 = ‒7. Das Differential von f an der Stelle (1, 2) ist also D f, (1, 2) mit D f, (1, 2) (x, y) = ∂ f _ ∂ x (1, 2)·x + ∂ f _ ∂ y (1, 2)·y = ‒10x – 7y. b. Die Tangentialebene von f an der Stelle (1, 2) ist der Graph der linearen Funktion h mit h(x, y) = f(1, 2) + D f, (1, 2) (x –1, y – 2) = ‒ 3 – 10(x – 1) – 7(y – 2). Ausmultiplizieren ergibt h(x, y) = 21 – 10x – 7y. Eine Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (1, 2) ist daher z = 21 – 10x – 7y bzw. 10x + 7y + z = 21. c. Statt des Funktionswertes von f an der Stelle (1,01, 2,02) berechnen wir den von h an dieser Stelle und erhalten h(1,01, 2,02) = ‒ 3,24. Der Funktionswert von f an dieser Stelle ist f(1,01, 2,02) = ‒ 3,24239996 und weicht vom Näherungswert um ca. 0,0024 ab. 973 Berechne das Differential der Funktion f an der angegebenen Stelle. a. f(x, y) = 2x – y 2 ; an der Stelle (2, 3) c. f(x, y) = (0,5x – y) 3 ; an der Stelle (0, 4) b. f(x, y) = 5x 3 + 2xy + 3y; an der Stelle (‒1, 5) d. f(x, y) = (y + xy + y 2 ) 2 ; an der Stelle (1, 1) 974 Ordne der Funktion f das passende Differential D an der Stelle (2, 3) zu. a. f(x, y) = 2x 2 + y A D(x, y) = 4x – 6y B D(x, y) = 8x + y b. f(x, y) = x 2 – y² C D(x, y) = x + 8y D D(x, y) = 6x – 4y 975 Ermittle für die Funktion f mit f(x, y) = x 2 + 3xy + y 2 die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (‒1, 4). 976 Bestimme die Gleichung der Tangentialebene der Funktion f mit f(x, y) = (3x + 2y) 3 an der Stelle (‒ 2, 3). 977 Berechne mithilfe der partiellen Ableitungen an der Stelle (1, ‒ 3) näherungsweise den Funktionswert der Funktion f mit f(x, y) = 2x 2 – xy + y an der Stelle (1,02, ‒ 2,99). 978 Ermittle für die Funktion f mit f(x, y) = (x + 2)(y – 1) 2 das Differential an der Stelle (3, 2) und berechne damit näherungsweise den Funktionswert an der Stelle (3,02, 2,05). 979 Bestimme für die Funktion f mit f(x, y) = (x – 1) 2 ·y 3 das Differential an der Stelle (‒1, 1) und berechne damit näherungsweise den Funktionswert an der Stelle (‒ 0,95, 1,03). B das Differential einer Funktion und die Gleichung der Tangential- ebene an einer Stelle berechnen ggb/mcd/tns vk48am B C B B B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv